Perdas localizadas e Dutos não-circulares

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Teoria

Dutos não-circulares

Fala chefe! Tudo certo?

Bom, provavelmente você deve ter visto em algum lugar essas tubulações de ar:

Ou essas daqui:

Elas tem algo em comum que é o fato delas não serem circulares, isso muda um pouco nossa abordagem sobre escoamentos em dutos, porque o escoamento não é aquele que a gente tava vendo, com aqueles fatores de atrito e tudo mais.

Mas não muda muita coisa, fica tranquilo todo seu esforço terá valido a pena aqui também!

Uns caras pensando em realizar esses escoamentos nesses dutos não convencionais fizeram algumas relações algébricas e tudo mais e chegaram no conceito de Diâmetro Hidráulico D h :

D h = 4 A P m

Esse diâmetro é meio que um substituto pro diâmetro de círculos mesmo. Então todas as outras fórmulas ainda valem! Yey...

Vamos dar nomes aos bois:

A = á r e a   d a   s e ç ã o   d o   d u t o

P m = p e r í m e t r o   m o l h a d o

Isso de “perímetro molhado” é onde o fluido toca o duto. Normalmente o perímetro da seção.

Por exemplo, na figura a seguir, o fluido encosta em todo o perímetro da tubulação retangular de 2 metros de altura e 3 metros de largura).

Logo, o perímetro molhado é 2   +   3   +   2   +   3   =   10     m e t r o s . Esse valor coincide com o perímetro da seção pois o fluido está molhando toda a seção.

Se o fluido estivesse na metade da altura do mesmo duto, como mostrado na figura a seguir, o perímetro molhado seria outro:

P m = 1 + 3 + 1 + 0 = 5   m e t r o s

Então é só substituirmos nas nossas expressões esse D h :

R e D h = ρ V D h μ

h p = f L D h V ² 2 g

f = 64 R e D h ,   c a s o   l a m i n a r

Assim tudo muito bonito e tal, mas é bom entender que isso tudo são aproximações pra gente poder continuar usando nossas fórmulas de antes. Ou seja, os nossos resultados apresentam um erro.

No escoamento turbulento esse erro é bem pequeno, mas no caso laminar a coisa fica um pouco mais complicada. Vou descrever rapidinho como ficam as expressões de f no caso laminar:

-Seção retangular e triangular:

-Seção em anel ( a é o raio maior e b o raio menor):

f l a m = 64 R e D h ζ

ζ = a - b ² a ² - b ² a 4 - b 4 - a 2 - b 2 ² ln ⁡ a / b

Ou usa essa tabelinha:

Perdas Localizadas

Seguindo nossos estudos, vamos dar uma olhada em um negócio chamado perda localizada.

O que significa esse troço? Significa que podem existir coisas nas nossas tubulações que dão mais dificuldade do fluido se movimentar. Mas por quê alguém faria isso?

Porque a gente precisa fechar ou diminuir o escoamento, a gente precisa controlar o escoamento, por isso usamos válvulas. Só por curiosidade, vou jogar um exemplo de como é uma válvula aqui:

Mas também temos perdas por causa de curvas ou cotovelos na nossa tubulação. É a mesma coisa quando estamos no trânsito, chega na hora da curva ou a gente freia o carro ou a gente sai voando da pista. Como o fluido ta preso pelos dutos, ele não tem a escolha de sair voando. Mas imagina que louco um fluido derrapando...

Contrações ou expansões também fazem a gente perder energia, se olhar essa figurinha aqui em baixo isso fica claro:

TODO MUNDO FREIA QUANDO JUNTA AS PISTAS!

Trânsito e sua extrema familiaridade com escoamentos fluidos...

Sem mais delongas vamos ver como calcular essas perdas.

Lembra do h p das perdas de carga globais? Agora a gente vai ter um carinha chamado h p l perda de carga localizada.

Normalmente essas perdas são calculadas experimentalmente, então em breve veremos várias tabelas de um valor chamado coeficiente de perda localizada K . Ele se relaciona com h p l assim:

h p l = K V ² 2 g

Lembrando que a gente pode ter um monte de perdas localizadas, mas é só fazer o somatório delas que ta tudo tranquilo.

Se você quiser, podemos reescrever nossa equação da energia, com um formato mais geral:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p + ∑ h p l

Aqui em baixo vou colocar uma tabelinha de valores de K de válvulas, cotovelos, em função do diâmetro da tubulação, só pra gente ter uma ideia de como funciona. Existem vários tipos de tabelas e gráficos que descrevem perdas locais. Conforme aparecerem nos exercícios a gente aplica elas.

Então show? Bora praticar?

Perdas Localizadas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Em um trecho de 30 m de comprimento e 50 mm de diâmetro de uma tubulação de ferro galvanizado, água escoa e passa por uma válvula gaveta totalmente aberta, 2 cotovelos de 90° normal e um cotovelo de 45° normal também. Considerando que os acidentes são rosqueados e vazão é de 3   L / s , calcule a perda de carga localizada.

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite ou boa madrugada! xD Vamos começar a resolver os exercícios de Perdas Localizadas :D

Vimos na teoria que a perda localizada é o somatório de todas as perdas causadas por acidentes (obstáculos) no trecho analisado. Dá uma olhada:

h p l = ∑ K i V i ² 2 g

Sendo K i o coeficiente de perda localizada de cada acidente e V i a velocidade do fluido que passa pelo obstáculo.

No nosso caso, todos os acidentes estão acontecendo numa tubulação de diâmetro 50 mm. A partir daí conseguimos calcular a velocidade e ela será a mesma para todo mundo. Podemos coloca-la para fora o somatório

h p l = V ² 2 g ∑ K i

Precisamos de duas coisas para calcular a perda de carga então: calcular a velocidade e descobrir os coeficientes dos acidentes! Primeiro vamos calcular a velocidade pela vazão volumétrica

Q = V . A

A área é a área de um tubo circular de diâmetro 50 mm, ou seja, 0,05 metros. Sempre bom usar o Sistema Internacional (SI)! Aliás, a vazão também precisa ser convertida para o SI.

Q = V . π D 2 4

3 × 10 - 3 = V . π   0,05 2 4

Com isso achamos a velocidade na tubulação

V = 1,53   m / s  

Passo 2

Agora vamos encontrar os coeficientes de perda localizada. Os acidentes são:

  • 1 válvula gaveta totalmente aberta
  • 2 cotovelos de 90° normal
  • 1 cotovelo de 45° normal

Lembrando que são rosqueados e o diâmetro é de 50 mm, hein! Vamos ver isso na tabela

Assim, pela tabela encontramos que

K v á l v u l a   g a v e t a = 0,16 K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l = 0 , 95 K c o t o v e l o   45 °   n o r m a l = 0,30

Calculando a perda localizada

∑ h p l = V ² 2 g ∑ K i

h p l = V ² 2 g K v á l v u l a   g a v e t a + 2 K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l + K c o t o v e l o   45 °   n o r m a l

Detalhe importante! Multiplicamos o K do cotovelo de 90° por 2, pois temos esse mesmo acidente 2 vezes. Os outros não foram multiplicados porque só tem 1 de cada. Fechado?

Vamos as contas. Substituindo

h p l = 1,53 ² 2 × 9,8 0,16 + 2 × 0,95 + 0,30

h p l = 0,28   m

Perda localizada calculada! =D

Resposta

h p l = 0,28   m

Exercício Resolvido #2

Uma tubulação de aço comercial tem 5 m de comprimento e 13 mm de diâmetro. Água escoa a 0,2 L/s passando por uma válvula globo rosqueada totalmente aberta e um cotovelo de 90° normal rosqueado. Calcule (a) a perda de carga global, (b) a perda de carga localizada e (c) compare os valores e analise qual tipo de perda é mais significativo nesse trecho.

Passo 1

Olá! Nesse exercício vamos relacionar os dois tipos de perda que aprendemos. Daqui para frente vamos sempre estar atentos a eles.

Sobre a perda de carga global h p , aprendemos que ela depende do comprimento da tubulação, do diâmetro, da velocidade do tubo e do fator de atrito

h p = f L D V 2 2 g

Vamos primeiro calcular essa velocidade, pois vamos usar esse valor ao longo de todo o exercício, já que o diâmetro da tubulação permanece o mesmo.

Q = V . A

Sendo um tubo circular, a área é:

Q = V . π D 2 4

Substituindo o que conhecemos do enunciado e passando a vazão para o m³/s:

0,0002 = V . π   0,013 2 4

Assim encontramos a velocidade:

V = 1,51   m / s

Passo 2

Para o cálculo da perda global, falta conhecer o fator de atrito. Esse cálculo depende se o escoamento é laminar ou turbulento. Então vamos analisar Reynolds.

R e = ρ V D μ

Considerando que o fluido é a água, substituímos

R e = 1000 × 1,51 × 0,013 0,001 = 1,96 × 10 4

1,96 × 10 4 > 2300

Como Reynolds é maior que 2300, então o escoamento é turbulento. Logo, o fator de atrito depende de Reynolds e da rugosidade relativa e / D .

Falando nela... Sendo o tubo de aço comercial, pela tabela de rugosidade, e   =   0,046   m m .

e D = 0,046   m m 13   m m = 0,0035

Com R e   ≈     2 × 10 4 e e / D ≈ 0,0035 , usamos o Diagrama de Moody

O fator de atrito é aproximadamente 0,032 como indicado no zoom.

A reta laranja não está traçada exatamente na curva de 0,004 de rugosidade relativa, pois o valor mais preciso é 0,0035. Por isso, foi marcada um pouco abaixo. Beleza?

Agora vamos substituir os valores para encontrar a perda de carga:

h p = f L D V 2 2 g = 0,032 5 0,013 1,51 2 2 × 9,8

h p = 1,43   m

Passo 3

Até aqui, encontramos a perda de carga global. Vamos analisar a letra b, que pede a perda localizada:

h p l = ∑ K i V i ² 2 g

K i é o coeficiente de perda localizada de cada acidente e V i a velocidade do fluido que passa pelo obstáculo.

Como todos os acidentes estão num trecho de mesmo diâmetro, então a velocidade é a mesma que já calculamos.

h p l = V ² 2 g ∑ K i = 1,51 ² 2 × 9,8 ∑ K i

Ok! Para encontrar os coeficientes de perda localizada, vamos fazer uma lista dos obstáculos que o fluido passa:

  • 1 válvula globo totalmente aberta
  • 1 cotovelo de 90° normal

Vamos encontrar na tabela. O diâmetro é 13 mm e são acidentes rosqueados

Assim, pela tabela encontramos que:

K v á l v u l a   g l o b o = 14 K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l = 2

Calculando a perda localizada:

h p l = 1,51 ² 2 × 9,8 ∑ K i

h p l = 1,51 ² 2 × 9,8 K v á l v u l a   g a v e t a + K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l

Substituindo:

h p l = 1,51 ² 2 × 9,8 14 + 2

h p l = 1,86   m

E assim encontramos a perda localizada!

Passo 4

Finalmente, vamos a letra c, fazer uma comparação

O escoamento nas condições apresentadas nesse exercício tem perda global (causada pelo escoamento do fluido ao longo da tubulação) de 1,43 m e perdas localizadas (causadas pelos acidentes) de 1,86 m.

h p l > h p

Então, nesse caso, a perda localizada é maior que a perda global, a perda localizada é mais significativa. Beleza, ok... Mas o que isso quer dizer?

Por exemplo, se quiséssemos atuar para diminuir as perdas desse trecho, seria interessante atuar nos obstáculos e trocá-los por outros que tenham um coeficiente de perda localizada menor! Isso teria mais impacto do que trocar o material do tubo, por exemplo.

É muito importante lembrar que se a situação fosse outra (outro material da tubulação, outro comprimento, outros acidentes), a perda de carga global poderia ser mais significativa. Para fazer essa afirmação de quem é mais significativa, precisamos analisar cada escoamento, ok? o/

Resposta

h p = 1,43   m

h p l = 1,86   m

Exercício Resolvido #3

(Adaptada) Um grande reservatório fornece água para a comunidade. Uma parte do sistema de abastecimento de água é mostrada. A água é bombeada de um reservatório para um grande tanque de armazenagem antes de ser enviada para a instalação de tratamento de água. O sistema é projetado para fornecer 1310 L/s de água a 20°C. De B para C, o sistema consiste em uma entrada da borda-viva, 760 m de tubo, três válvulas gaveta, quatro cotovelos de 45° e dois cotovelos de 90°. Todo o tubo é de ferro fundido de 508 mm de diâmetro e fator de atrito 0,017. Calcule a perda localizada no trecho BC.

Passo 1

Para calcular a perda localizada, uma das opções é calcular assim:

h p l = ∑ K i V i ² 2 g

K i é o coeficiente de perda localizada de cada acidente e V i a velocidade do fluido que passa pelo obstáculo.

Porém, repara que nesse exercício, o diâmetro é de 508 mm e que não foi dito se é flangeado ou rosqueado. Nesse caso, o uso da tabela que temos dos coeficientes K só ajuda para calcular a parte da entrada, cujo K conhecemos e é 1. E para os outros acidentes?

Relaxa que esse caso tem solução! Temos informação sobre o fator de atrito e a tabela de comprimentos equivalentes para cada acidente dito no enunciado. Isso vai nos ajudar muito!

E com isso, vamos usar a seguinte fórmula:

h p l = ∑ f L e D V i ² 2 g + K e V ² 2 g

Como a tubulação tem o mesmo diâmetro no trecho BC e mesmo material, f e V são os mesmos para todos os acidentes:

h p l = f V ² 2 g ∑ L e D + K e

Precisamos conhecer a velocidade V e os L e D de cada obstáculo. Começando pela velocidade:

Q = V . A

Como o duto é circular, a área é:

Q = V . π D 2 4

Substituindo os valores e convertendo a vazão para o m³/s:

1,310 = V . π   0,508 2 4

Logo, a velocidade é

V = 6,47   m / s

Passo 2

Fazendo uma lista dos acidentes que ocorrem no trecho BC:

  • 1 entrada da borda-viva
  • 3 válvulas gaveta
  • 4 cotovelos de 45°
  • 2 cotovelos de 90°

Pela tabela a seguir, encontramos os valores de L e D   para cada acidente.

Lembrando que para a entrada sabemos que o K é 1. Substituindo na equação da perda localizada

h p l = f V ² 2 g 3 × L e D g a v e t a + 2 × L e D c o t 90 + 4 × L e D c o t 45 + K e

h p l = 0,017 6,47 ² 2 × 9,8 3 × 8 + 2 × 30 + 4 × 16 + 1

h p l = 5,4   m

Show! Encontramos a perda de carga localizada.

Resposta

h p l = 5,4   m

Exercício Resolvido #4

A Figura mostra um ensaio de perdas para um filtro espesso. A vazão no tubo é de 7   m 3 / m i n e a pressão a montante é de 120   k P a . O fluido é o ar a 20 ° C . Usando a leitura do manômetro de coluna de água, estime o coeficiente de perda K do filtro.

Passo 1

Calma galera, sei que parece um pouco diferente, mas é um exercício parecido com o que estamos fazendo, ou seja:

Bora montar a equação da energia! (só não grita de emoção, pode atrapalhar os coleguinhas do lado)

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p + h p l

Vamos então cancelar os termos que não variam da entrada para a saída:

-Não varia a altura do duto:

z 1 = z 2

-Não varia a vazão nem a área, logo não varia a velocidade:

V 1 = V 2

-Vamos supor que as perdas globais h p são desprezíveis.

Nossa equação fica com a seguinta cara então:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + h p l

Passo 2

Agora as coisas mudam um pouquinho, pois temos essa perda local h p l = K V ² 2 g do filtro.

Vamos colocar esse valora na equação:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + K V ² 2 g

Arrumando as coisas:

K = 2 p 1 - p 2 ρ V 2

Beleza então precisamos calcular os termos ρ ,   V e p 1 - p 2 .

Lembra daquela expressão de gases perfeitos p = ρ R T ?

Podemos aproximar o ar como um gás perfeito para calcular sua massa específica, ou consultamos alguma tabela que tenha os valores para p = 120   k P a e T = 20 ℃ .

Logo

ρ = p R T

T = 20 ℃ = 293   K   e

  R = 287   J / ( K g . K )

ρ = 120 × 10 3 287 × 293 = 1,43   k g / m ³

A velocidade podemos calcular pela vazão Q = 7   m ³ / m i n e pela área A = π 4 d ²

V = Q A = 7 60 π ( 0,1 ) ² 4

V = 14,85   m / s

Agora podemos olhar o manômetro para calcular a pressão na saída p 2 .

Se lembrarmos lá do início da Hidrostática, podemos fazer um balanço de pressões:

p 1 + ρ a r g h - ρ á g u a g h = p 2

Se reorganizarmos isso veremos que o termo p 1 - p 2 aparece:

p 1 - p 2 = - ρ a r g h + ρ á g u a g h

Logo

p 1 - p 2 = - ρ a r + ρ á g u a g h

p 1 - p 2 = - 1,43 + 998 × 9,81 × 0,04

p 1 - p 2 = 391   P a

Substituindo tudo na expressão de K :

K = 2 391 1,43 × 14,85 2

K = 2,479

Resposta

K = 2,479

Exercício Resolvido #5

Na Figura encontram-se 38   m de tubo de 50   m m , 23   m de tubo de 150   m m e 46   m de tubo de 75   m m , todos de ferro fundido. Há também 3 cotovelos de 90 ° e uma válvula globo aberta, todos flangeados. Se a elevação de saída é zero, qual é a potência em h p extraída pela turbina quando a vazão é de 4,5   L / s de água a 20 ° C ?

Formulário:

-Contração Brusca:

K C B ≈ 0,42 1 - d ² D ²

-Expansão Brusca: K E B = 1 - d ² D ² 2

Passo 1

Nesta questão devemos mais uma vez montar a equação da energia:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + ∑ h p + ∑ h p l + h t u r b i n a

Repare que temos dois somatórios:

-Das perdas globais

-Das perdas locais

-Além da energia que a turbina precisa

Nos próximos passos listaremos cada uma das perdas que vamos calcular.

As condições de entrada são:

p 1 = p 2 z 1 = 30   m V 1 = 0

Na saída:

p 2 = p 1 z 2 = 0   m V 2 = Q A s a í d a = 4,5 × 10 - 3 π 0,075 ² 4 = 1,02   m / s

Logo a equação fica com a seguinte cara:

z 1 = V 2 ² 2 g + ∑ h p + ∑ h p l + h t u r b i n a

Rearranjando em função da turbina:

h t u r b i n a = z 1 - V 2 2 2 g - ∑ h p - ∑ h p l

Passo 2

Como já conhecemos z 1 e V 2 , vamos listar e calcular as perdas globais, existem três pois temos três variações de diâmetro na tubulação:

- h p A é do tubo de L = 38   m com diâmetro d = 0,050   m ;

- h p B é do tubo de L = 23   m com diâmetro d = 0,150   m ;

- h p C é do tubo de L = 46   m com diâmetro d = 0,075   m .

Comecemos pela primeira perda h p 1 :

h p 1 = f L d V ² 2 g

Calcularemos a velocidade e então o número de Reynolds, sendo ρ = 1000   k g / m ³ e μ = 10 - 3   k g / ( m . s ) :

V A = Q A A = 4,5 × 10 - 3 π 0,050 ² 4 = 2,29   m / s

R e d A = ρ V A d A μ = 1000 × 2,29 × 0,050 10 - 3 = 114500

Dado que a rugosidade do tubo é ϵ = 0,26   m m

ϵ d = 0,26 50 = 5,2 × 10 - 3

Logo, pelo Diagrama de Moody,

f = 0,03

Substituindo na expressão da perda de carga:

h p 1 = f L d V ² 2 g

h p 1 = 0,03 38 0,050 2,29 ² 2 × 9,81 = 6,09   m

Fazendo o mesmo para as outras duas perdas de carga:

V B = Q A B = 4,5 × 10 - 3 π 0,150 ² 4 = 0,25   m / s

R e d B = ρ V B d B μ = 1000 × 0,25 × 0,150 10 - 3 = 37500

ϵ d = 0,26 150 = 1,7 × 10 - 3

f = 0,027

h p 2 = 0,027 23 0,150 0,25 ² 2 × 9,81 = 0,01   m

Para a terceira:

V C = Q A C = 4,5 × 10 - 3 π 0,075 ² 4 = 1,02   m / s

R e d C = ρ V C d C μ = 1000 × 1,02 × 0,075 10 - 3 = 76500

ϵ d = 0,26 75 = 3,5 × 10 - 3

f = 0,028

h p 3 = 0,028 46 0,075 1,02 ² 2 × 9,81 = 0,91   m

Somando todas as três perdas:

∑ h p = h p 1 + h p 2 + h p 3

∑ h p = 6,09 + 0,01 + 0,91

∑ h p = 7,01   m

Passo 3

Agora vamos listas as perdas locais:

  1. Na entrada da tubulação, contração brusca;
  2. 3 cotovelos de 90 ° normal;
  3. 1 válvula globo aberta;
  4. Na saída, expansão brusca.

Na contração:

K C B ≈ 0,42 1 - d ² D ²

Se d = 0,050   m ≪ D = 30   m :

K ≈ 0,42 1 - 0

K 1 = 0,42

Nos cotovelos, olhamos valores tabelados:

K 2 = 0,39

Na válvula, também pegamos valores tabelados:

K 3 = 7,25

Na expansão brusca:

K 4 = 1 - d ² D ² 2 = 1

Logo nosso somatório fica:

∑ h p l = K 1 V A ² 2 g + 2 K 2 V A ² 2 g + K 3 V C ² 2 g + K 4 V C ² 2 g

∑ h p l = 0,42 2,29 ² 2 × 9,81 + 2 × 0,39 2,29 ² 2 × 9,81 + 7,25 1,02 ² 2 × 9,81 + 1 1,02 ² 2 × 9,81

∑ h p l = 0,11 + 0,31 + 0,38 + 0,05

∑ h p l = 0,85   m

Passo 4

Lembrando da expressão que deduzimos no primeiro passo, iremos substituir as variáveis que não conhecíamos:

h t u r b i n a = z 1 - V 2 2 2 g - ∑ h p - ∑ h p l

h t u r b i n a = 30 - 1,02 2 2 × 9,81 - 7,01 - 0,85

h t u r b i n a = 22,09   m

Logo a potência da turbina em W é igual a :

P o t = ρ g Q h t u r b i n a

P o t = 1000 × 9,81 × 4,5 × 10 - 3 × 22,09

P o t = 975,16   W

P o t   h p = 975,16 × 0,00134 =   1,31   h p

Resposta

P o t = 1,31   h p

Exercício Resolvido #6

Uma grande sala usa um ventilador para succionar o ar atmosférico a 20 ℃ por um duto de aço comercial de 30   c m por 30   c m por 12   m de comprimento, como na Figura P6.92. Calcule a pressão na sala, se a vazão for 1200   m ² / h . Despreze as perdas localizadas.

Passo 1

Neste exercício devemos estamos considerando um duto não circular! É um duto de seção quadrada.

Antes de calcularmos o diâmetro hidráulico, vamos como sempre olhar a equação da energia. Vamos considerar que nosso volume de controle começa no início do duto e termina na entrada da sala.

Tanto a velocidade, quanto a altura não muda de um ponto a outro do duto, logo a equação fica com a seguinte cara:

p 1 - p 2 ρ g = h p = f L D h V ² 2 g

Passo 2

Vamos calcular o número de Reynolds para sabermos o tipo de regime em que estamos:

Calculamos o diâmetro hidráulico D h :

D h = 4 A P m = 4 × 30 × 30 30 + 30 + 30 + 30

D h = 30   c m

Se a velocidade é

As propriedades do ar são ρ = 1,2   k g / m ³ e μ = 1,8 × 10 - 5 k g / ( m . s )

Se a velocidade é V = Q / A

V = 1200 ÷ 3600 30 × 10 - 2 ² = 3,70   m / s

Logo R e D h :

R e D h = ρ V D h μ = 1,2 × 3,70 × 0,30 1,8 × 10 - 5

R e D h = 74000

Regime turbulento, podemos usar o Diagrama de Moody como aproximação.

Passo 3

Sabemos que o material é aço comercial, logo:

ϵ = 0,046   m m

ϵ D h = 0,046 × 10 - 3 0,30

ϵ D h = 0,000153

No Diagrama de Moody:

f ≈ 0,02

Passo 4

Substituindo na expressão inicial da equação da energia:

p 1 - p 2 ρ g = f L D h V ² 2 g

Como queremos p 2 :

p s a l a = p a t m - ρ f L D h V ² 2

Neste caso vamos usar a escala absoluta de pressão:

p a t m = 1   a t m = 10 5   P a

Substituindo todos valores, temos a expressão:

p s a l a = 10 5 - 1,2 × 0,02 12 0,3 3,70 ² 2

p s a l a = 99993   P a

Resposta

p s a l a = 99993   P a

Exercício Resolvido #7

(Adaptada) Trocadores de calor consistem frequentemente em muitas passagens triangulares. Uma passagem é mostrada na figura, com L   =   60   c m e seção transversal em formato de um triângulo isósceles de comprimento lateral a   =   2   c m e ângulo β   =   80 ° . Se a velocidade média é V   =   2   m / s e o fluido é óleo SAE 10 a 20°C, calcule a perda de carga global.

Dados: ρ S A E   10 = 870   k g / m 3 , μ S A E   10 = 0,104 k g / m . s

Passo 1

Esse é um exercício de duto não-circular. Por isso, vamos precisar do diâmetro hidráulico D h para fazer os cálculos de Reynolds. Com o Reynolds descobrimos se o escoamento é laminar ou turbulento. Então vamos lá,

D h = 4 A P m

A área da seção do duto é a área do triângulo isósceles. Sabemos o lado a e o ângulo entre os lados iguais, então é conveniente usar essa fórmula de área do triângulo

A = a . b .   s e n   β 2  

No triângulo isósceles, a = b

A = a 2   s e n   β 2  

Como a = 2 cm = 0,02 m e β = 80°

A = 0,02 2   s e n   80 ° 2 = 1,97 × 10 - 4   m 2

Show! Para calcular o perímetro molhado P m vamos considerar que o fluido escoa ao longo de todo o perímetro. Logo, o perímetro molhado será o próprio perímetro.

Podemos levar isso em consideração, pois o enunciado não informa se o fluido estaria ocupando apenas uma parte do duto. Beleza?

Conhecemos dois lados do triângulo, mas falta conhecer o terceiro. Para isso, vamos usar a lei dos cossenos

c 2 =   a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ β

No triângulo da figura

c 2 =   a 2 + a 2 - 2 a 2 cos ⁡ β = 2 a 2 - 2 a 2 cos ⁡ β

Substituindo

c 2 = 2 . 0,02 2 1 - cos ⁡ 80 °  

c = 0,0257   m

Calculando o perímetro molhado

P m = a + a + c

P m = 0,02 + 0,02 + 0,0257

P m = 0,0657   m

Voltando ao Diâmetro hidráulico

D h = 4 A P m = 4 × 1,97 × 10 - 4 0,0657

D h = 0,012   m

Passo 2

Opa! Com esse diâmetro hidráulico, vamos calcular Reynolds! :DD

R e h = ρ V D h μ

Substituindo

R e h = 870 × 2 × 0,012 0,104 = 200,7

200,7 < 2300

Como Re é menor que 2300, o escoamento é laminar. Por isso, vamos usar a tabela que relaciona o fator de atrito e Reynolds no escoamento laminar a depender da geometria (nosso caso é triangular)

Por que selecionar o θ = 40 ° ? Pois nessa tabela, o ângulo entre os lados iguais é 2 θ . Então

β = 2 θ = 80 ° ⇒ θ = 80 ° / 2 = 40 °

Pela tabela vemos que:

f R e h = 52,9

f = 52,9 R e h = 52,9 200,7

f = 0,264

E assim podemos calcular a perda de carga global 😊

h p = f L D h V 2 2 g = 0 , 264 0,60 0,01 2 2 2 2 × 9,8

h p = 2,69   m

Resposta

h p = 2,69   m

Exercício Resolvido #8

Um duto de seção anular de folga muito pequena provoca uma queda de pressão muito grande e é útil para uma medição precisa da viscosidade. Se um duto de seção anular liso de 1   m de comprimento, com a   =   50   m m e b   =   49   m m , transporta uma vazão de óleo a 0,001   m 3 / s , qual é a viscosidade do óleo se a queda de pressão é 250   k P a ?

Passo 1

Montaremos nossa equação da energia deste sistema:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Vamos supor que não há variação na altura logo z 1 = z 2 ;

Pelo enunciado não parece que há uma variação na área a seção, e como Q é constante:

V 1 = V 2

Pelo enunciado sabemos também que p 1 - p 2 = 250   k P a .

Portando nossa equação fica:

p 1 - p 2 ρ g = h p

Passo 2

Fórmula da perda de carga para seções não circulares:

h p = f L D h V ² 2 g

Calcularemos primeiro o diâmetro hidráulico D h :

  D h = 4 A P m

A área A é igual a,

A = π ( a 2 - b 2 )

O perímetro molhado P m :

P m = 2 π a + 2 π b = 2 π ( a + b )

Logo D h :

D h = 4 × π a 2 - b 2 2 π a + b

D h = 2 a + b a - b a + b

D h = 2 ( a - b )

D h = 2 50 - 49 m m

D h = 2   m m

Agora calcularemos a velocidade V a partir da área A e da vazão Q = 0,001   m ³ / s :

V = Q A

V = Q π a 2 - b 2

V = 0,001 π 50 × 10 ³ ² - 49 × 10 ³ ²

V = 0,001 π × 10 - 6 ( 50 2 - 49 2 )

V = 3,21 m s

Vamos supor escoamento laminar, logo,

f l a m = 64 R e D h ζ

Ao invés de utilizarmos aquela expressão longa de ζ , vamos utilizar aquela tabelinha que vimos na teoria:

b a = 49 50 = 0,98 ≈ 1

Logo f R e D h = 96 , ou seja, f = 96 / R e D h .

Passo 3

Substituiremos os tudo na equação da energia:

p 1 - p 2 ρ g = h p

p 1 - p 2 ρ g = f L D h V ² 2 g

Sabemos que f = 96 / R e D h :

p 1 - p 2 ρ g = 96 R e D h L D h V ² 2 g

Substituindo R e D h = ρ V D h μ :

p 1 - p 2 ρ g = 96 ρ V D h μ L D h V ² 2 g

Rearranjando em função de μ :

μ = p 1 - p 2 D h ² 48 L V

Logo,

μ = 250 × 10 3 × 2 × 10 - 3 2 48 × 1 × 3,21

μ = 6,49 × 10 - 3   k g / ( m . s )

Resposta

μ = 6,49 × 10 - 3   k g / ( m . s )

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