Perdas localizadas e Dutos não-circulares

Teoria Completa

Dutos não-circulares

Fala chefe! Tudo certo?

Bom, provavelmente você deve ter visto em algum lugar essas tubulações de ar:

Ou essas daqui:

Elas tem algo em comum que é o fato delas não serem circulares, isso muda um pouco nossa abordagem sobre escoamentos em dutos, porque o escoamento não é aquele que a gente tava vendo, com aqueles fatores de atrito e tudo mais.

Mas não muda muita coisa, fica tranquilo todo seu esforço terá valido a pena aqui também!

Uns caras pensando em realizar esses escoamentos nesses dutos não convencionais fizeram algumas relações algébricas e tudo mais e chegaram no conceito de Diâmetro Hidráulico D h :

D h = 4 A P m

Esse diâmetro é meio que um substituto pro diâmetro de círculos mesmo. Então todas as outras fórmulas ainda valem! Yey...

Vamos dar nomes aos bois:

A = á r e a   d a   s e ç ã o   d o   d u t o

P m = p e r í m e t r o   m o l h a d o

Isso de “perímetro molhado” é onde o fluido toca o duto. Normalmente o perímetro da seção.

Por exemplo, na figura a seguir, o fluido encosta em todo o perímetro da tubulação retangular de 2 metros de altura e 3 metros de largura).

Logo, o perímetro molhado é 2   +   3   +   2   +   3   =   10     m e t r o s . Esse valor coincide com o perímetro da seção pois o fluido está molhando toda a seção.

Se o fluido estivesse na metade da altura do mesmo duto, como mostrado na figura a seguir, o perímetro molhado seria outro:

P m = 1 + 3 + 1 + 0 = 5   m e t r o s

Então é só substituirmos nas nossas expressões esse D h :

R e D h = ρ V D h μ

h p = f L D h V ² 2 g

f = 64 R e D h ,   c a s o   l a m i n a r

Assim tudo muito bonito e tal, mas é bom entender que isso tudo são aproximações pra gente poder continuar usando nossas fórmulas de antes. Ou seja, os nossos resultados apresentam um erro.

No escoamento turbulento esse erro é bem pequeno, mas no caso laminar a coisa fica um pouco mais complicada. Vou descrever rapidinho como ficam as expressões de f no caso laminar:

-Seção retangular e triangular:

-Seção em anel ( a é o raio maior e b o raio menor):

f l a m = 64 R e D h ζ

ζ = a - b ² a ² - b ² a 4 - b 4 - a 2 - b 2 ² ln ⁡ a / b

Ou usa essa tabelinha:

Perdas Localizadas

Seguindo nossos estudos, vamos dar uma olhada em um negócio chamado perda localizada.

O que significa esse troço? Significa que podem existir coisas nas nossas tubulações que dão mais dificuldade do fluido se movimentar. Mas por quê alguém faria isso?

Porque a gente precisa fechar ou diminuir o escoamento, a gente precisa controlar o escoamento, por isso usamos válvulas. Só por curiosidade, vou jogar um exemplo de como é uma válvula aqui:

Mas também temos perdas por causa de curvas ou cotovelos na nossa tubulação. É a mesma coisa quando estamos no trânsito, chega na hora da curva ou a gente freia o carro ou a gente sai voando da pista. Como o fluido ta preso pelos dutos, ele não tem a escolha de sair voando. Mas imagina que louco um fluido derrapando...

Contrações ou expansões também fazem a gente perder energia, se olhar essa figurinha aqui em baixo isso fica claro:

TODO MUNDO FREIA QUANDO JUNTA AS PISTAS!

Trânsito e sua extrema familiaridade com escoamentos fluidos...

Sem mais delongas vamos ver como calcular essas perdas.

Lembra do h p das perdas de carga globais? Agora a gente vai ter um carinha chamado h p l perda de carga localizada.

Normalmente essas perdas são calculadas experimentalmente, então em breve veremos várias tabelas de um valor chamado coeficiente de perda localizada K . Ele se relaciona com h p l assim:

h p l = K V ² 2 g

Lembrando que a gente pode ter um monte de perdas localizadas, mas é só fazer o somatório delas que ta tudo tranquilo.

Se você quiser, podemos reescrever nossa equação da energia, com um formato mais geral:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p + ∑ h p l

Aqui em baixo vou colocar uma tabelinha de valores de K de válvulas, cotovelos, em função do diâmetro da tubulação, só pra gente ter uma ideia de como funciona. Existem vários tipos de tabelas e gráficos que descrevem perdas locais. Conforme aparecerem nos exercícios a gente aplica elas.

Então show? Bora praticar?

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Em um trecho de 30 m de comprimento e 50 mm de diâmetro de uma tubulação de ferro galvanizado, água escoa e passa por uma válvula gaveta totalmente aberta, 2 cotovelos de 90° normal e um cotovelo de 45° normal também. Considerando que os acidentes são rosqueados e vazão é de 3   L / s , calcule a perda de carga localizada.

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Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite ou boa madrugada! xD Vamos começar a resolver os exercícios de Perdas Localizadas :D

Vimos na teoria que a perda localizada é o somatório de todas as perdas causadas por acidentes (obstáculos) no trecho analisado. Dá uma olhada:

h p l = ∑ K i V i ² 2 g

Sendo K i o coeficiente de perda localizada de cada acidente e V i a velocidade do fluido que passa pelo obstáculo.

No nosso caso, todos os acidentes estão acontecendo numa tubulação de diâmetro 50 mm. A partir daí conseguimos calcular a velocidade e ela será a mesma para todo mundo. Podemos coloca-la para fora o somatório

h p l = V ² 2 g ∑ K i

Precisamos de duas coisas para calcular a perda de carga então: calcular a velocidade e descobrir os coeficientes dos acidentes! Primeiro vamos calcular a velocidade pela vazão volumétrica

Q = V . A

A área é a área de um tubo circular de diâmetro 50 mm, ou seja, 0,05 metros. Sempre bom usar o Sistema Internacional (SI)! Aliás, a vazão também precisa ser convertida para o SI.

Q = V . π D 2 4

3 × 10 - 3 = V . π   0,05 2 4

Com isso achamos a velocidade na tubulação

V = 1,53   m / s  

Passo 2

Agora vamos encontrar os coeficientes de perda localizada. Os acidentes são:

  • 1 válvula gaveta totalmente aberta
  • 2 cotovelos de 90° normal
  • 1 cotovelo de 45° normal

Lembrando que são rosqueados e o diâmetro é de 50 mm, hein! Vamos ver isso na tabela

Assim, pela tabela encontramos que

K v á l v u l a   g a v e t a = 0,16 K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l = 0 , 95 K c o t o v e l o   45 °   n o r m a l = 0,30

Calculando a perda localizada

∑ h p l = V ² 2 g ∑ K i

h p l = V ² 2 g K v á l v u l a   g a v e t a + 2 K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l + K c o t o v e l o   45 °   n o r m a l

Detalhe importante! Multiplicamos o K do cotovelo de 90° por 2, pois temos esse mesmo acidente 2 vezes. Os outros não foram multiplicados porque só tem 1 de cada. Fechado?

Vamos as contas. Substituindo

h p l = 1,53 ² 2 × 9,8 0,16 + 2 × 0,95 + 0,30

h p l = 0,28   m

Perda localizada calculada! =D

Resposta

h p l = 0,28   m

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Uma tubulação de aço comercial tem 5 m de comprimento e 13 mm de diâmetro. Água escoa a 0,2 L/s passando por uma válvula globo rosqueada totalmente aberta e um cotovelo de 90° normal rosqueado. Calcule (a) a perda de carga global, (b) a perda de carga localizada e (c) compare os valores e analise qual tipo de perda é mais significativo nesse trecho.

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Passo 1

Olá! Nesse exercício vamos relacionar os dois tipos de perda que aprendemos. Daqui para frente vamos sempre estar atentos a eles.

Sobre a perda de carga global h p , aprendemos que ela depende do comprimento da tubulação, do diâmetro, da velocidade do tubo e do fator de atrito

h p = f L D V 2 2 g

Vamos primeiro calcular essa velocidade, pois vamos usar esse valor ao longo de todo o exercício, já que o diâmetro da tubulação permanece o mesmo.

Q = V . A

Sendo um tubo circular, a área é:

Q = V . π D 2 4

Substituindo o que conhecemos do enunciado e passando a vazão para o m³/s:

0,0002 = V . π   0,013 2 4

Assim encontramos a velocidade:

V = 1,51   m / s

Passo 2

Para o cálculo da perda global, falta conhecer o fator de atrito. Esse cálculo depende se o escoamento é laminar ou turbulento. Então vamos analisar Reynolds.

R e = ρ V D μ

Considerando que o fluido é a água, substituímos

R e = 1000 × 1,51 × 0,013 0,001 = 1,96 × 10 4

1,96 × 10 4 > 2300

Como Reynolds é maior que 2300, então o escoamento é turbulento. Logo, o fator de atrito depende de Reynolds e da rugosidade relativa e / D .

Falando nela... Sendo o tubo de aço comercial, pela tabela de rugosidade, e   =   0,046   m m .

e D = 0,046   m m 13   m m = 0,0035

Com R e   ≈     2 × 10 4 e e / D ≈ 0,0035 , usamos o Diagrama de Moody

O fator de atrito é aproximadamente 0,032 como indicado no zoom.

A reta laranja não está traçada exatamente na curva de 0,004 de rugosidade relativa, pois o valor mais preciso é 0,0035. Por isso, foi marcada um pouco abaixo. Beleza?

Agora vamos substituir os valores para encontrar a perda de carga:

h p = f L D V 2 2 g = 0,032 5 0,013 1,51 2 2 × 9,8

h p = 1,43   m

Passo 3

Até aqui, encontramos a perda de carga global. Vamos analisar a letra b, que pede a perda localizada:

h p l = ∑ K i V i ² 2 g

K i é o coeficiente de perda localizada de cada acidente e V i a velocidade do fluido que passa pelo obstáculo.

Como todos os acidentes estão num trecho de mesmo diâmetro, então a velocidade é a mesma que já calculamos.

h p l = V ² 2 g ∑ K i = 1,51 ² 2 × 9,8 ∑ K i

Ok! Para encontrar os coeficientes de perda localizada, vamos fazer uma lista dos obstáculos que o fluido passa:

  • 1 válvula globo totalmente aberta
  • 1 cotovelo de 90° normal

Vamos encontrar na tabela. O diâmetro é 13 mm e são acidentes rosqueados

Assim, pela tabela encontramos que:

K v á l v u l a   g l o b o = 14 K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l = 2

Calculando a perda localizada:

h p l = 1,51 ² 2 × 9,8 ∑ K i

h p l = 1,51 ² 2 × 9,8 K v á l v u l a   g a v e t a + K c o t o v e l o   90 °   n o r m a l

Substituindo:

h p l = 1,51 ² 2 × 9,8 14 + 2

h p l = 1,86   m

E assim encontramos a perda localizada!

Passo 4

Finalmente, vamos a letra c, fazer uma comparação

O escoamento nas condições apresentadas nesse exercício tem perda global (causada pelo escoamento do fluido ao longo da tubulação) de 1,43 m e perdas localizadas (causadas pelos acidentes) de 1,86 m.

h p l > h p

Então, nesse caso, a perda localizada é maior que a perda global, a perda localizada é mais significativa. Beleza, ok... Mas o que isso quer dizer?

Por exemplo, se quiséssemos atuar para diminuir as perdas desse trecho, seria interessante atuar nos obstáculos e trocá-los por outros que tenham um coeficiente de perda localizada menor! Isso teria mais impacto do que trocar o material do tubo, por exemplo.

É muito importante lembrar que se a situação fosse outra (outro material da tubulação, outro comprimento, outros acidentes), a perda de carga global poderia ser mais significativa. Para fazer essa afirmação de quem é mais significativa, precisamos analisar cada escoamento, ok? o/

Resposta

h p = 1,43   m

h p l = 1,86   m

Exercício Resolvido #3

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 513, ex. 8.169

(Adaptada) Um grande reservatório fornece água para a comunidade. Uma parte do sistema de abastecimento de água é mostrada. A água é bombeada de um reservatório para um grande tanque de armazenagem antes de ser enviada para a instalação de tratamento de água. O sistema é projetado para fornecer 1310 L/s de água a 20°C. De B para C, o sistema consiste em uma entrada da borda-viva, 760 m de tubo, três válvulas gaveta, quatro cotovelos de 45° e dois cotovelos de 90°. Todo o tubo é de ferro fundido de 508 mm de diâmetro e fator de atrito 0,017. Calcule a perda localizada no trecho BC.

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Passo 1

Para calcular a perda localizada, uma das opções é calcular assim:

h p l = ∑ K i V i ² 2 g

K i é o coeficiente de perda localizada de cada acidente e V i a velocidade do fluido que passa pelo obstáculo.

Porém, repara que nesse exercício, o diâmetro é de 508 mm e que não foi dito se é flangeado ou rosqueado. Nesse caso, o uso da tabela que temos dos coeficientes K só ajuda para calcular a parte da entrada, cujo K conhecemos e é 1. E para os outros acidentes?

Relaxa que esse caso tem solução! Temos informação sobre o fator de atrito e a tabela de comprimentos equivalentes para cada acidente dito no enunciado. Isso vai nos ajudar muito!

E com isso, vamos usar a seguinte fórmula:

h p l = ∑ f L e D V i ² 2 g + K e V ² 2 g

Como a tubulação tem o mesmo diâmetro no trecho BC e mesmo material, f e V são os mesmos para todos os acidentes:

h p l = f V ² 2 g ∑ L e D + K e

Precisamos conhecer a velocidade V e os L e D de cada obstáculo. Começando pela velocidade:

Q = V . A

Como o duto é circular, a área é:

Q = V . π D 2 4

Substituindo os valores e convertendo a vazão para o m³/s:

1,310 = V . π   0,508 2 4

Logo, a velocidade é

V = 6,47   m / s

Passo 2

Fazendo uma lista dos acidentes que ocorrem no trecho BC:

  • 1 entrada da borda-viva
  • 3 válvulas gaveta
  • 4 cotovelos de 45°
  • 2 cotovelos de 90°

Pela tabela a seguir, encontramos os valores de L e D   para cada acidente.

Lembrando que para a entrada sabemos que o K é 1. Substituindo na equação da perda localizada

h p l = f V ² 2 g 3 × L e D g a v e t a + 2 × L e D c o t 90 + 4 × L e D c o t 45 + K e

h p l = 0,017 6,47 ² 2 × 9,8 3 × 8 + 2 × 30 + 4 × 16 + 1

h p l = 5,4   m

Show! Encontramos a perda de carga localizada.

Resposta

h p l = 5,4   m

Exercício Resolvido #4

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

A Figura mostra um ensaio de perdas para um filtro espesso. A vazão no tubo é de 7   m 3 / m i n e a pressão a montante é de 120   k P a . O fluido é o ar a 20 ° C . Usando a leitura do manômetro de coluna de água, estime o coeficiente de perda K do filtro.

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Passo 1

Calma galera, sei que parece um pouco diferente, mas é um exercício parecido com o que estamos fazendo, ou seja:

Bora montar a equação da energia! (só não grita de emoção, pode atrapalhar os coleguinhas do lado)

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p + h p l

Vamos então cancelar os termos que não variam da entrada para a saída:

-Não varia a altura do duto:

z 1 = z 2

-Não varia a vazão nem a área, logo não varia a velocidade:

V 1 = V 2

-Vamos supor que as perdas globais h p são desprezíveis.

Nossa equação fica com a seguinta cara então:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + h p l

Passo 2

Agora as coisas mudam um pouquinho, pois temos essa perda local h p l = K V ² 2 g do filtro.

Vamos colocar esse valora na equação:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + K V ² 2 g