Princípio de Stevin e Manômetros

Teoria Completa

O que Stevin disse?

Vimos como calcular a pressão hidrostática em um recipiente. Mas e se o recipiente for um tubo em “U”. Como calcular a pressão em A ?

Bem, Stevin diz que a pressão em um mesmo fluido em repouso é igual em alturas iguais. Já falamos muito disso, não é mesmo? Afinal de contas, a equação que deduzimos para a pressão hidrostática em um ponto devido a coluna de fluido acima do ponto é dada por:

P = ρ g h

Ou seja: depende apenas da altura para um mesmo fluido. E pra que esse princípio serve?

Vamos usar esse princípio para resolver muitas questões, com um simples passo:

Escolher dois pontos na mesma altura e mesmo líquido para igualar as pressões.

Na mesma altura e no mesmo líquido! Essas regras são muito importantes para usar o Princípio de Stevin.

Tá, mas como assim? Olha a figura lá em cima, a gente quer descobrir a pressão na região A .

Para isso basta escolher dois pontos, no mesmo fluido e na mesma altura e igualar as pressões.

Os pontos escolhidos são:

No ponto a esquerda (M) a única pressão acima dele é a pressão P A que é a pressão na região A . Logo, nesse caso:

P M = P A

E aí o que você tem que pensar é que nesse recipiente esférico da esquerda (nessa bola) tem um gás com certa pressão, e esse gás desce pelo tubo até o ponto M. Por isso a pressão em A é igual à pressão em M.

Já no ponto à direita (N) a pressão desse ponto é a pressão exercida pela pressão atmosférica mais a pressão da coluna h de líquido.

Assim, a pressão no ponto N é

P N = P a t m + ρ . g . h

Beleza, escolhemos os dois pontos, agora basta igualar as pressões

P M = P N

E assim:

P A = P a t m + ρ . g . h

A beleza nisso é que sabendo a pressão de um lado conseguimos descobrir a pressão do outro lado. Com isso, podemos resolver muitos problemas, tipo quase todos!

E além disso, com esse exemplo acabei de te mostrar o que é um manômetro! O nome é estranho, mas viu, não é um bicho de sete cabeças.

Manômetros

Manômetro é um instrumento que tem a função de medir diferenças de pressões. Ué, diferença? Como assim?

No caso acima, medimos a diferença de pressão de um lugar (região A ) em relação a pressão atmosférica (pois o outro lado é aberto).

Mas e se o outro lado fosse fechado?

Como por exemplo, nesse estilo:

Bem mais complexo, né? Para calcular a diferença de pressão entre A e B, a gente poderia ir aplicando o Princípio de Stevin em vários pares de ponto, até encontrar a resposta.

Mas concorda que nesse caso, aplicar Stevin várias vezes vai dar trabalho? É, daria mesmo. A boa notícia é que tem uma outra técnica que é mais simples de resolver esse tipo de problema.

Vou te mostrar essa maravilha que vai nos salvar. Relembrando, o que queremos saber?

E tudo que estamos estudando aqui está estático né?!

Então vamos usar a pouco famosa segunda lei de Newton ∑ F = 0 .

Mas força? Não estávamos trabalhando com pressão? Esse é o pulo do gato, se todo o manômetro manter o mesmo calibre (área). Podemos transformar a equação de força em pressão.

Como F = P . A , podemos escrever:

∑ P . A = 0

Se por todo o percurso a área for a mesma, podemos cortar ela da equação, assim, chegando em:

∑ P = 0

Então vamos começar a montar a equação de pressão da seguinte forma:

Passo a Passo: Para achar a diferença de pressão em tubos fechados

Vou te explicar esse passo a passo mostrando um exemplo! Então, vamos lá, queremos calcular a diferença de pressão entre as extremidades A e B da figura a seguir:

Passo 1 - Escolhemos uma extremidade para partir (pode ser qualquer uma delas! Você que escolhe). Exemplo: escolhemos a extremidade A.

Passo 2 - Percorremos o caminho até a outra extremidade. Começamos a escrever a equação ∑ P = 0

Comece colocando a pressão do ponto inicial escolhido:

P A

Calma, jovem! A gente vai completar a equação ao longo desse passo a passo!

Passo 3 – Vamos seguir o caminho em direção a outra extremidade do tubo.

Como escolhemos começar pela extremidade A, o caminho é esse aqui, indicado com as setinhas:

Para cada coluna de líquido que percorremos neste caminho, nós adicionamos (ou subtraímos) o valor da pressão dessa coluna de líquido na nossa equação.

Se a gente adiciona ou subtrai, como eu sei o sinal da pressão então?

Trago uma boa notícia! Tem uma regra simples para saber isso:

Se a coluna está descendo no nosso caminho, o sinal é positivo

Se a coluna está subindo no nosso caminho, o sinal é negativo

Ah, legal, muito maneiro que dá pra saber o sinal, né! Mas o sinal de quem mesmo?

Já te respondo: é o sinal da pressão da coluna de líquido, que na estática dos fluidos é descrita por:

P 1 =   ρ 1 . g . (   z A -   z 1 )

P 1 =   ρ 1 . g . h 1

No nosso exemplo, como isso fica? Relembrando, nossa equação ∑ P = 0 está assim até agora:

P A

Agora, temos uma coluna do líquido de densidade ρ 1 descendo. Logo, nossa equação fica assim:

P A +   ρ 1 . g . h 1

Repara que o sinal de + é porque tá descendo! A partir de agora, temos que aplicar essa mesma lógica, até chegarmos em B.

A próxima coluna de líquido é a rosa. Veja que esse fluido desce e depois sobe. Podemos calcular a pressão desse fluido descendo e depois subindo, mas isso daria mais trabalho. Então, quando o fluido sobe e desce (ou desce e sobe) você pode pegar um atalho!

Atalhos para fluidos que sobem e descem (ou descem e sobem)

Bem, se o fluido descesse e depois subisse na mesma altura, nós íriamos somar a pressão descendo e subtrair a pressão subindo e o resultado seria zero!

Então! O nosso fluido rosa desce de z 1 até z 4 . Depois ele sobe de z 4 até z 1 . E depois sobe de z 1 até z 2 .

Ou seja, as pressões subindo e descendo entre z 1 e z 4 se cancelam! É como se o nosso fluido só tivesse subindo de z 1 até z 2 .

Logo, como é uma subida, o sinal é negativo:

P 2 =   - ρ 2 . g . h 2

E assim, na nossa equação da pressão:

P A +   ρ 1 . g . h 1   -   ρ 2 . g . h 2

Opa, show de bola! Tá faltando só mais um fluido no nosso caminho, o fluido 3. Ele tá só subindo. Então...

P 3 =   - ρ 3 . g . h 3

Atualizando a equação da pressão:

P A +   ρ 1 . g . h 1   -   ρ 2 . g . h 2   - ρ 3 . g . h 3  

Passo 4 – Chegamos na outra extremidade! Uhul! Finalmente!

Então agora nós fechamos a nossa equação da pressão subtraindo a pressão no ponto B. E igualando a zero!

P A +   ρ 1 . g . h 1   -   ρ 2 . g . h 2   - ρ 3 . g . h 3 -   P B = 0  

Ufa! Chegamos no final do caminho! Se conhecermos as alturas e as massas específicas de cada fluido podemos determinar a diferença de pressão entre A e B. No nosso exemplo, ficou assim:

P A -   P B = +   ρ 2 . g . h 2   +   ρ 3 . g . h 3 -   ρ 1 . g . h 1    

Bora ver um resumão desse passo a passo?

Passo 1 - Escolhemos uma extremidade para partir.

Passo 2 - Percorremos o caminho até a outra extremidade. Começamos a escrever a equação   ∑ P = 0 Comece colocando a pressão do pressão do ponto inicial escolhido

Passo 3 - Vamos seguir o caminho em direção a outra extremidade do tubo. Na nossa equação vamos acrescentando as pressões das colunas de líquido. ( ρ . g . h   )

Se a coluna está descendo no nosso caminho, o sinal é positivo

Se a coluna está subindo no nosso caminho, o sinal é negativo

Passo 4 - Subtraímos a pressão da outra extremidade na equação e igualamos a zero a expressão.

Agora que vimos as formas de calcular pressão e diferença de pressão utilizando Stevin e o passo a passo de tubo fechado, vamos fazer uns exercícios? o/

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Exercício Resolvido #1

Na Figura abaixo o tanque contém água e óleo imiscíveis a 20 ° C . Qual é o valor de h em c m   se a massa específica do óleo é de 898   k g / m 3 ?

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Passo 1

Para resolver essa questão temos que usar o que aprendemos em vasos comunicantes.

Que a pressão é a mesma em dois pontos no mesmo fluido na mesma altura.

Então nesse problema podemos usar dois pontos para calcular a altura h .

Os pontos são os em vermelhos ou os em azuis:

Utilizando um desses pares de pontos conseguimos achar a resposta, como sou flamenguista vamos escolher o vermelho.

Vimos que como eles estão na mesma altura ( 8   c m ) e no mesmo liquido á g u a eles estão submetidos a mesma pressão.

Que pressão é essa? É a pressão da coluna de liquido acima dos dois. No caso do ponto a esquerda é a coluna de óleo, coluna essa que mede 12 + h c m . Já o ponto na direita sofre a pressão da coluna de 18   c m de água.

Para resolver basta igualar as pressões

P d i r = P e s q

ρ ó l e o × g × 12 + h = ρ á g u a × g × 18

Vamos cortar aceleração da gravidade. E se liga não importa a unidade da altura, desde que usemos a mesma nos dois lados. O mesmo vale para a densidade. Então como usamos em c m , acharemos a resposta em cm.

A densidade do óleo é 898   k g / m 3 e da água é 998   k g / m 3 . Sendo assim temos tudo para resolver o problema.

898   ×   12 + h = 998   ×   18

Isolando a altura, temos:

h = 998   ×   8 - 898   × 12 898

h = 8   c m

Resposta

h = 8   c m

Exercício Resolvido #2

O tubo em V simétrico na figura abaixo contém água estática e ar a 20 ° C . Qual é a pressão do ar na parte fechada no ponto B ?

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Passo 1

Uma questão de vasos comunicantes, porém agora temos um vaso inclinado.

Nada mudou, vamos continuar pegando dois pontos de mesma altura no mesmo fluido e falando que a pressão neles deve ser igual.

Os pontos escolhidos vão ser:

Já temos os pontos. O que muda nesse estilo de vaso é que não temos as alturas. Vamos ter que descobrir todas as alturas para podermos resolver o problema.

Lembre que na pressão o que importa é a distância vertical. Pois quando igualarmos as pressões vamos obter a equação do lado esquerdo:

p 1 = 1 a t m + ρ a r . g . h 1

E do lado do lado direito:

p 2 = ρ á g u a . g . h 2 + p a r b

Então para resolvermos o problema temos que encontrar a altura h 1   e   h 2 , alturas essas que correspondem a:

Para descobrir essas alturas, vamos ter que usar algumas relações trigonométricas.

Vamos usar o fato de que seno de um ângulo é igual a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa

s e n   θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a  

Mas que ângulo é esse? Bem, a imagem nos forneceu que o ângulo entre um dos lados do vaso e a vertical é 40 ° . Como a vertical faz 90 ° com a horizontal, o vaso faz 50 ° com a horizontal.

Então conseguimos descobrir a altura h 1 , assim:

Usando a relação do seno, temos

s e n   50 ° = h 1 160

Com o auxilio de uma calculadora temos:

h 1 = 122,57   c m

Observação:

sen ⁡ 50 ° = cos ⁡ 40 °

Então você também pode calcular h 1 como:

cos ⁡ 40 ° = h 1 160

h 1 = 122,57   c m

Agora só falta descobrir h 2 e para isso faremos o mesmo:

Utilizando da imagem dada pelo enunciado conseguimos descobrir o comprimento de água acima do ponto analisado, e tendo este valor descobrir a altura:

s e n   50 ° = h 2 115

h 2 = 88,1   c m

Passo 2

Agora que temos as alturas, faltam apenas as densidades. A da tem que lembrar que é 998   k g / m 3 e a do ar vamos ter que pesquisar em um livro ou na internet.

A massa especifica do ar é aproximadamente: 1,3   k g / m 3

Assim, podemos resolver a questão. Igualando as duas equações mostradas lá em cima temos:

1 a t m + ρ a r . g . h 1 = ρ á g u a . g . h 2 + p a r b

1,013.10 5 N / m 2 + 1,3   k g / m 3 . 9,8     m / s 2 .   1,2257   m = 998   k g / m 3 . 9,8   m / s 2 . 0,881   m + p a r b

Lembre-se de usar as unidades correta, por isso transformamos 1   a t m → 1,013 . 10 5 N / m 2 e c m → 10 - 2   m

Resolvendo a equação temos:

p a r b = 1,013.10 5 N / m 2 + 1,3   k g / m 3 . 9,8   m / s 2 .   1,2257   m - 998   k g / m 3 . 9,8   m / s 2 . 0,881   m

p a r b ≈ 92.700   N / m 2

Resposta

p a r b ≈ 92.700   N / m 2

Exercício Resolvido #3

Considerando que a pressão atmosférica seja 101 , 3   k N / m 2 , que o fluido A seja água e que o fluído B seja mercúrio ( s =   13 , 6 ) , qual será a altura h se a pressão absoluta em X é 140   k N / m 2 e σ = 1,5   m ?

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Passo 1

Novamente precisamos escolher dois pontos no mesmo fluido e na mesma altura para podermos igualar as pressões.

O ponto escolhido será:

No ponto a esquerda temos a pressão em X e a pressão devido à coluna de água.

p 1 = p X + ρ á g u a . g . σ

Já no ponto a direita será a pressão atmosférica e a pressão devido à coluna de mercúrio.

p 2 = p a t m + ρ h g . g . h

Passo 2

Agora podemos igualar as pressões e obter uma única equação com uma única incógnita

p X + ρ á g u a . g . σ = p a t m + ρ h g . g . h

Atenção! A densidade do mercúrio foi dada sem unidade, o que significa que ela foi dada em relação à da água.

sendo a da água ( 1   g / c m 3 = 1.10 3   k g / m 3 ) .

Vamos substituir os valores que temos então:

140.10 3 N / m 2 + 1.10 3   k g / m 3 . 9,8   m / s 2 . 1,5   m = 101,3.10 3 N / m 2 + 13,6.10 3   k g / m 3   . 9,8   m / s 2 . h

h = 1,4.10 5 + 1.10 3 . 9,8.1,5 - 1,013.10 5 13,6.10 3 . 9,8

h = 0,4 01   m

Dica: Lembre-se que quando te derem a densidade sem unidade foi porque a densidade foi dada em g / c m 3 .

Resposta

h = 0,4   m

Exercício Resolvido #4

Considere o manômetro de dois fluidos mostrado ao lado. Calcule a diferença de pressão aplicada.

Dados:

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Passo 1

Agora queremos calcular a diferença de pressão. Mas o sistema para fazer isso é o mesmo: escolher dois pontos no mesmo fluido e na mesma altura para igualar as pressões

Os pontos escolhidos são:

No ponto a esquerda a pressão é dada pela pressão P 1 e a coluna de água.

P = P 1 + ρ á g u a . g . h + d l

A altura é a dada pelo enunciado h = 10,2   m m , mas e parte para cima? A gente chamos de d l Ela engana, o desenho está muito desproporcional, aquele pedacinho para cima é muito pequeno.

No ponto a direita a mesma coisa sofrerá a pressão P 2 e a pressão da coluna de tetracloreto.

P = P 2 + ρ t e t r a c l o r e t o . g . h + ρ á g u a . g . d l

A mesma coisa acontece, vamos apenas considerar a altura de tetracloreto h = 10,2   m m e a parte de água acima é considerada um d l .

Passo 2

Agora podemos igualar as pressões:

P 1 + ρ á g u a . g . h + ρ á g u a . g . d l = P 2 + ρ t e t r a c l o r e t o . g . h + ρ á g u a . g . d l

Como queremos a diferença de pressão P 1 - P 2 , vamos isolar o que queremos:

P 1 - P 2 = ρ t e t r a c l o r e t o - ρ á g u a . g . h

Pela tabela pegamos as densidades da água e do tetracloreto de carbono.

P 1 - P 2 = 1590 - 998 . 9,8.10,2.10 - 3

P 1 - P 2 = 59,17   N / m 2

Resposta

P 1 - P 2 = 59,17   N / m 2

Exercício Resolvido #5

O sistema na Figura abaixo está a 20 ° C . Se a pressão no ponto A é de 90.973   P a , determine as pressões nos pontos B ,   C e D em P a .

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Passo 1

Essa é uma questão típica de manômetros. Vamos primeiro encontrar a pressão em B .

Para isso precisamos escolher dois pontos no mesmo fluido para igualar as pressões: Os pontos escolhidos nesse primeiro caso serão:

Assim a pressão no ponto A   já foi dada P A = 90973   P a

E a pressão no ponto da direita será dada pela pressão no ponto B mais a coluna de água.

P = P B + ρ á g u a . g . h b

Repara que temos que conhecer a densidade da água.

O enunciado nos disse que estamos a 20 º C , e nessa temperatura temos:

20 º C → ρ á g u a = 998 k g / m 3

E a nossa altura h b será

h b = 0,9 - 0,6

h b = 0,3   m

Agora igualando as pressões temos

P a = P

90973 = P B + ρ á g u a . g . h b

90973 = P B + 998.9,8.0,3

P b = 90973 - 998.9,8.0,3

P b = 88039   P a

Passo 2

Agora, vamos descobrir a pressão no ponto D , vamos pegar um ponto no mesmo liquido e altura que o ponto D. Vamos escolher o ponto abaixo do ponto A .

Vamos considerar que esses pontos estão no fundo do recipiente, como os pontos estão na água e na mesma altura, eles tem a mesma pressão. Sendo assim se descobrirmos a pressão no ponto vermelho descobrimos a pressão no ponto D .

A pressão no ponto vermelho é a pressão em A , mas a pressão de coluna de água. Sendo assim:

P = P A + ρ á g u a . g . h

P = 90973 + 998.9,8.1,5

P = P D ≈ 105643   P a

Agora que sabemos a pressão em D . Conseguimos descobrir a pressão em C .

Pois a pressão em D é a pressão em C , mais a coluna de ar, mais a coluna de água.

Sendo assim temos:

P D = P C + ρ a r . g . h + ρ á g u a . g . h 1

Agora precisamos da densidade do ar. Estando a 20 º C , teremos:

20 º C → ρ a r = 1,3 k g / m 2

105643 = P C + 1,3.9,8.1,8 + 998.9,8.0,6

Isolando P C , temos:

P C = 105643 - 1,3.9,8.1,8 - 998.9,8.0,6

P C ≈ 99752   P a

Resposta

P b = 88039   P a

P C ≈ 99752   P a

P D ≈ 105643   P a

Exercício Resolvido #6

Encontre a densidade do fluido A na figura abaixo.

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Passo 1

Uma questão típica de manômetros. Já resolvemos muitas questões usando o método de escolher dois pontos no mesmo fluido e mesma altura para podermos igualar as pressões.

Bem, essa é uma questão que resolver por este método daria muito trabalho, teríamos que pegar vários pontos, ir igualando as pressões.

Por isso, nessa vamos utilizar o método de montar apenas uma equação de pressão para todo o sistema.

Como vimos na teoria, vamos começar de um lado e assumir que tudo que está para baixo é positivo e tudo que percorrermos subindo será negativo e no final tudo isso será igual a pressão no outro extremo.

Mas, para utilizarmos esse método temos que ter todas as distâncias mapeadas. Então faremos isso primeiro. Sabemos as alturas: h 1 ; h 2 ; h 3   e   h 4 , porém não sabemos o valor de x ; y ; z .

Bem, x não tem como descobrirmos mesmo, mas as outras duas medidas conseguimos descobrir. Bem, z é a diferença entre h 1 e h 2 , assim:

z = h 1 - h 2