Pressão Hidrostática

Teoria Completa

Principio de Stevin e Paradoxo Hidrostático

Eu faço eng. Naval e a área que gostaria de trabalhar seria no desenvolvimento de submarinos, sabe qual o maior desafio de um submarino? Criar um casco, o mais barato possível, que aguente a maior pressão possível que a água vai fazer sobre ele.

Você com certeza já ouviu falar em relógio à prova d’água. São aqueles relógios que podemos mergulhar sem perigo que ele quebre.

Que força é essa capaz de quebrar o vidro do relógio e até uma chapa de aço do casco de um submarino?

É a força exercida pela massa de partículas que estão acima do objeto. Imagina que você mergulhe em uma piscina. Se você mergulhou um metro, você terá um metro de partículas de água exercendo peso sobre você.

Mas força (peso) não é uma grandeza boa, pois dependerá da forma do objeto analisado. Por isso usaremos a pressão que é a força sobre área.

p = F A

Bem, em física já tínhamos visto que pressão é força sobre área. E por aqui também vimos o principio de Stevin ser enunciado, dizendo que dois pontos na mesma altura imersos em um mesmo liquido em repouso tem a mesma pressão.

Esse princípio quer dizer que a pressão depende apenas do fluido e da altura em que o ponto analisado está.

Desta forma nos foi ensinado que pressão exercida pela coluna de fluido é:

p = ρ g h

Pressão é igual a densidade do fluido vezes aceleração da gravidade e tamanho da coluna de fluido sobre o ponto analisado.

Bem, foi isso que vimos no ensino médio e depois revimos nos primeiros anos da faculdade.

Mas você saberia chegar nessa equação? Relaxa, não será uma demonstração louca e bizarra. Na verdade ela é bem legal se você sempre foi meio desconfiado quanto a essa afirmação da pressão depender só dá altura. Vai achar legal!

Beleza, vamos começar do fato de que tudo que estamos estudando está parado. Sendo assim qual é a equação que temos de acordo com a segunda lei de Newton?

∑ F → = 0

A definição que vimos de pressão é força sobre área. Num caso infinitesimal iremos usar " d " como indicador de elemento infinitesimal, beleza? Tipo d A significa que pegamos um elemento muito muito pequeno de área.

Como calcular a pressão exercida por um elemento infinitesimal de água?

Esse elemento tem volume d V , o peso que ele exerce é calculado de acordo com sua densidade e volume certo, assim o peso é:

F = ρ . g . d V

A pressão nós definimos como força sobre área, assim podemos dizer que força é igual a pressão vezes área.

F = d p . d A

Então, a pressão exercida por esse elemento pode ser calculada igualando as equações:

d p . d A = ρ . g . d V

O volume de um objeto é calculado como área da base vezes altura, não importa se é um objeto infinitesimal ou não. Assim podemos escrever:

d p . d A = ρ . g . d A . d h

Cortando as áreas temos que:

d p = ρ g d h

Beleza, descobrimos a pressão de um elemento infinitesimal. Mas se a gente quiser saber a pressão do objeto real, basta integrar (somar, elementinho por elementinho).

Assim:

∫ d p = ∫ ρ g d h

Essa integral, pode parecer bobeira, mas ela mostra que a pressão só pode ser calculda como ρ g h se a densidade e a aceleração da gravidade não variarem com a altura.

Opaaaaa, mas sabemos que elas variam. A gravidade no Rio de Janeiro é diferente da gravidade a 10 km de altura do nível do mar!

E agora Pablito? Como essa variação é pequena, consideramos que a densidade e gravidade não variam, e assim colocamos ela para fora da integral (MASSSS, se o problema falar algo do tipo “ um fluido cuja densidade segue a seguinte equação:...” Ou “um planeta que a gravidade varia conforme a seguinte equação...” se essa equação for função da altura, saiba que você vai ter que integrar a equação para descobrir como a pressão se comporta).

Fingindo que a gravidade e densidade não variam, chegamos no resultado em que sempre acreditamos:

p = ρ g h + C

Esse C é uma constante que chamamos de pressão inicial.

p = ρ g h + p o

A pressão inicial é a pressão que há em cima do bloquinho analisado, podendo ser zero, podendo ser a pressão atmosférica, fica atento com isso.

Pressão sob vários fluidos

Vimos como calcular a pressão, porém falamos apenas de um único fluido.

Imagina agora que você tem uma bacia com água e óleo. Como calcular a pressão?

É simples, basta você calcular a pressão exercida por cada fluido e depois somar.

Tipo, imagina esse caso agora que além da água e oléo foi adcionado mércurio. E obtivemos um sistema assim:

Como ficaria a pressão no fundo, nesse caso?

p = p a t m + ρ 1 g h 1 + ρ 2 g h 2 + ρ 3 g h 3

Observação: vamos sempre supor que a pressão varia apenas com a profundidade vertical do fluido e nunca com a posição horizontal!

Na verdade não é supor, vamos seguir o principio de stevin, que diz que a pressão num mesmo fluido varia apenas com a altura. Além disso, provamos que dado um corpo qualquer (fizemos o caso infinitesimal e integramos) a pressão só depende da densidade e altura.

Sabendo disso podemos falar do Paradoxo hidrostático. O paradoxo é: nos recipientes abaixo faz sentido dizer que a pressão no fundo deles é a mesma?

Sim, faz! Se a altura é a mesma, não importa a forma: a pressão será a mesma.

Pressão Manométrica

Quando calculamos a pressão chegamos em:

p = ρ g h + p 0

Onde eu te falei que p 0 é a pressão inicial, geralmente a pressão atmosférica. Olha os potes acima, eles são abertos ao ar, ar esse que é um fluido, então exerce uma pressão.

Essa pressão chamamos de pressão atmosférica. Mas e se quiséssemos descobrir a pressão causada apenas pelá água?

Ae vamos falar de pressão manométrica que é a pressão absoluta menos a pressão atmosférica:

p m a n o m e t r i c a = p a b s o l u t a - p a t m

A pressão absoluta é a pressão que aprendemos a calcular

p a b s = ρ g h + p a t m

Assim, manômetro é um instrumento que permite calcular a pressão sem a influência da pressão atmosférica.

Princípio de Pascal

Agora vamos falar de elevadores ou prensas hidráulicos.

Com a ajuda de um fluido vamos multiplicar a força que fazemos em um ponto para o outro.

Como isso? Pelo princípio de Pascal, ele diz: O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido”.

Então, temos que a pressão feita no liquido irá se transmitir sem perdas. Agora, vamos aplicar isso aos elevadores

Então a pressão exercida pela força F A será transmitida e recebida pelo lado B , assim gerando uma força F B .

Vamos equacionar isso que acabamos de falar. Qual é a pressão feita pela força F A ?

p A = F A A A

A pressão será transmitida igualmente, assim p A = p B

A força gerada será de acordo com a área do lado B , assim

F B = p A . A B

Substituindo o valor da pressão p A , temos

F B = F A A A . A B

Beleza, com essa equação podemos ver que fazendo uma pequena força, podemos aumentar ela de acordo com a razão A B / A A

Usualmente escrevemos o princípio de pascal da seguinte forma:

F B A B = F A A A

Relembramos boa parte do conteúdo de hidrostática que vimos em física. Vamos exercitar para ativar nosso conhecimento guardado a muito tempo sobre esse assunto!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Qualquer valor de pressão medida pode ser expresso como um comprimento ou carga, h =   p / ρ g . Qual é a pressão padrão ao nível do mar expressa em (a) m   de glicerina, (b) m m de Hg, (c)   m de coluna de água e (d)   m m de etanol? Considere que todos os fluidos estejam a 20°C.

Dados:

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Passo 1

Primeiro vamos entender de onde ele tirou isso que a pressão pode ser expressa como comprimento ou carga.

No futuro vamos chamar a pressão hidrostática de carga. Bem, dado que a densidade e a gravidade são “constantes” podemos representar a pressão simplesmente pela altura de um fluido. Por isso o que o enunciado fez foi pegar a equação da pressão que vimos:

p = ρ g h

E isolar a altura, assim:

h = p ρ g

Desta forma dada uma pressão e o fluido descobrimos o comprimento de fluido necessário para atingir aquela pressão.

Certo, que pressão que o enunciado quer saber? É a pressão do nível do mar.

A pressão do nível do mar é a pressão que usamos como padrão para representar a pressão causada pela atmosfera. Por isso conhecida como pressão atmosférica.

O valor da pressão atmosférica é: 101325   P a s c a l = 101,325   k P a ≈ 1.10 5   P a = 1   a t m

Lembrando que a unidade Pascal tem mesmo valor que o N / m 2 .

Esse último valor é o que usamos para comparar. Pra gente a comparação é muito importante, assim definimos a pressão atmosférica como padrão, valendo 1   a t m e comparamos com as outras pressões, por exemplo falar que 10 metros de água vale 1   a t m , que 20   m e t r o s vale 2   a t m .

Mas então, nessa questão queremos saber qual o comprimento de fluido que representa a pressão no nível do mar ( 101,325   k N / m 2 ) .

Passo 2

a   Queremos saber o comprimento de glicerina que representa a pressão atmosférica. Para isso precisamos saber o valor da pressão atmosférica em N / m 2 , já sabemos 101325   N / m 2 , precisamos saber da densidade da glicerina a 20 ° C , é dado pela tabela, e pro fim da aceleração da gravidade que a gente sabe de tanto que usamos ela: 9,8   m / s 2

Assim, podemos aplicar a fórmula dada pelo enunciado:

h g l i c e r i n a = 101325 1260   .   9,8

h g l i c e r i n a = 8,206   m

Passo 3

b   agora quanto essa pressão equivale em milímetros de mercúrio?

Basta substituir a densidade dos fluidos na formula:

h h g = 101325 13550   .   9,8

h h g = 0,763   m

O que equivale a 763 mm de mercúrio.

Passo 4

c   Fazendo o mesmo para a água temos:

h á g u a = 101325 998   .   9,8

h á g u a = 10,36   m

Passo 5

d   Fazendo o mesmo para o etanol temos:

h e t a n o l = 101325 789   .   9,8

h e t a n o l = 13,104   m

Isso em milímetros equivale a 13104   m m .

Resposta

a   h g l i c e r i n a = 8,206   m

b   h h g = 763   m m

c   h á g u a = 10,36   m

d   h e t a n o l = 13104   m m

Exercício Resolvido #2

Considerando g   =   10   m / s 2 e p a t m = 1   b a r , o valor da pressão manométrica atuante nos ouvidos de um mergulhador na água ( 1.000   k g / m 3 ) , correspondente a três vezes a pressão atmosférica, está associado a uma profundidade, em m , de:

( A ) 10   ( B )   30   ( C )   100   ( D )   300   ( E )   500

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Passo 1

Na questão anterior falamos de que usamos muito de comparação, essa questão é um exemplo.

A questão diz que x metros de água corresponde a 3 vezes o valor da pressão atmosférica ( 3 x   1   a t m )   . Nosso dever é descobrir quanto vale x .

Para isso vamos usar a nossa equação da pressão

P = ρ g h

Sem o P 0 pois o enunciado refere à pressão manométrica.

Como queremos a altura de água, vamos isolar h :

h = P / ρ g

a pressão nós temos 3   a t m ≈ 3.10 5   N / m 2 , a densidade da água foi dada ( 1.10 3   k g / m 3 ) e o valor da gravidade o enunciado pediu para usarmos 10   m / s 2   .

Substituindo os valores temos:

h á g u a = 3.10 5 1.10 3 * 10  

h á g u a ≈ 30   m

Resposta

Alternativa b  

Exercício Resolvido #3

Devido a diferenças de temperatura, ou a presença de sal ou, ainda, de sedimento, um fluido homogêneo em condição estática pode estratificar. Neste contexto, calcule a pressão relativa em um ponto de um líquido distante H da superfície livre, se a massa específica do fluido for variável e dada por: ρ = ρ 0   +   k h , em que ρ 0 é a massa específica na superfície e k é uma constante.

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Passo 1

Fizemos alguns exercícios onde apenas aplicamos a equação

P = ρ g h

Mas na teoria vimos que essa equação só é valida quando densidade e gravidade são constantes. Bem, nesse caso a densidade ou massa específica não são constantes quando variamos a altura assim, temos que voltar lá na integral da teoria:

∫ 0 H d P = ∫ 0 H ρ g d h

O enunciado nos deu a equação com que a densidade varia : ρ = ρ 0   +   k h

Assim, temos que:

P = ∫ 0 H ρ 0   +   k h g d h

A gravidade ainda é constante então temos:

P = g ∫ 0 H ρ 0 d h + k h . d h

Como a integral de uma soma é igual a soma das integrais temos:

P = g ∫ 0 H ρ 0 d h + ∫ 0 H k h . d h

Beleza são duas integrais polinomiais, assim a solução delas são:

P = g ρ 0 h . H - 0 + k H - 0 2 2

A equação da pressão no final é:

P = ρ g H + k g H 2 2

Resposta

P = ρ g H + k g H 2 2

Exercício Resolvido #4

O ponto mais profundo conhecido nos oceanos é 11.034 metros no Mariana Trench no Pacífico. Nessa profundidade o peso específico da água do mar é aproximadamente de 10.520   N / m 3 . Na superfície,   γ ≈ 10.050   N / m 3 . Calcule a pressão absoluta nessa profundidade, em atm.

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Passo 1

Novamente não podemos simplesmente aplicar P = ρ g h , pois a densidade do fluido varia conforme a altura.

Mas o enunciado forneceu o peso específico, que é a densidade vezes a gravidade, e denominamos como γ . Assim temos que: ρ g é substituído por γ .

γ = ρ g

O pior é que não temos a equação de como varia esse peso especifico. Como a variação é de menos de 500   N / m 2 em 11   K m , vamos aproximar a variação por uma variação linear da forma que

γ = γ 0 + k h

Assim temos duas incógnitas γ 0 e k

Assim, vamos usar o segundo valor de peso específico fornecido pelo enunciado que é o peso específico da água na superfície, ou seja, h = 0 .

Assim:

γ = 10.050   N / m 3 = γ 0

Agora com a primeira densidade vamos descobrir o valor de k .

γ = 10520 = 10050 + k . 11034

Isolando k , temos:

k = 10520 - 10050 11034

k = 0,0426

Beleza, assim a equação que descreve o peso específico da água é:

γ = 10050 + 0,0426 . h

Passo 2

Agora que sabemos como o peso específico varia, podemos voltar na integral da pressão e integrar corretamente

P = ∫ 10050 + 0,0426 . h d h

Integrando de forma igual feita no exercício anterior, temos:

P = 10050 . h + 0,0426 . h 2 2 + P 0

Como fizemos uma integral indefinida, pois a questão quer pressão absoluta, então devemos levar em conta a pressão atmosférica, temos:

P = 10050.11034 + 0,0426 . 11034 2 2 + 101325

P = 1,1.10 8 + 0,026   . 10 8 + 0,001.10 8

P ≈ 1,1278.10 8

Como enunciado quer a resposta em a t m , temos que lembrar que 1   a t m   ≈ 10 5   N / m 2

Assim,

P ≈ 1127   A t m

Isso quer dizer que nessa profundidade a pressão exercida é mais de mil vezes maior que a pressão da atmosfera.

Resposta

P ≈ 1127   A t m

Exercício Resolvido #5

O sistema na Figura abaixo está a 20 ° C . Se a pressão atmosférica é de 101,33   k P a e a pressão no fundo do tanque é de 242   k P a , qual é a densidade do fluido X?

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Passo 1

Até agora só havíamos visto questões com um único fluido, pois bem agora temos vários. Mas não é motivo para se preocupar. Vimos na teoria que quando temos mais de um fluido a pressão é dada por:

P = ρ 1 . g . h 1 + ρ 2 . g . h 2 + … + P 0

Nesse caso temos 4   liquidos. Temos a pressão no fundo do recipiente, a pressão atmosférica, pela tabela conseguimos descobrir a densidade de 3 dos fluidos e pela imagem temos a altura da coluna de cada fluido.

Assim, temos todas as informações da equação acima, exceto a densidade do fluido x , possibilitando que descubramos quanto vale essa densidade.

Então vamos lá: P = 242.10 3   P a ; P 0 = 101330   P a h 1 = 1   m ; h 2 = 2   m ; h 3 = 3   m ; h 4 = 0,5   m

Ainda temos: ρ 1 = 891   k g / m 3 ; ρ 2 = 998   k g / m 3 ; ρ 3 = ? ? ; ρ 4 = 13550   k g / m 3 e g = 9.8 m / s 2

Substituindo na equação temos:

242.10 3   P a = 891.9,8.1 + 998.9,8.2 + X . 9,8.3 + 13550.9,8.0,5 + 101330

Isolando X , temos:

X = + 242.10 3 - 891.9,8.1 - 998.9,8.2 - 13550.9,8.0,5 - 101330 9,8.3

Ao calcularmos isso, temos:

X = 1564   K g / m 3

Opa! Então encontramos a massa específica do fluido X:

ρ X = 1564   K g / m 3

Agora pra gente encontrar a densidade é só dividir a nossa massa específica pela massa específica da água, então temos:

d X = ρ X ρ á g u a

Substituindo os valores, ficamos com:

d X = 1564 1000

A densidade do fluido X será:

d X = 1,564

Resposta

d X = 1,564

Exercício Resolvido #6

O medidor de combustível do tanque de gasolina de um carro fornece uma indicação proporcional à pressão manométrica do fundo do tanque, como na Figura abaixo. Se o tanque tiver 30   c m de profundidade e acidentalmente contiver 2   c m de água mais gasolina, quantos centímetros de ar permanecerão na parte superior quando o medidor indica erroneamente “tanque cheio”?

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Passo 1

Primeiro devemos saber quando o tanque vai acusar que o tanque está cheio. Como o enunciado disse isso acontece por um medido de pressão.

Então o certo seria, quando o tanque tivesse cheio de gasolina, somente gasolina, ele apontaria que o tanque está cheio. Como? Bem alguém ajustou um indicador que quando o medidor de pressão apontasse a pressão exata que 30   c m de gasolina exerce ele ia indicar que o tanque está cheio.

Que pressão é essa, a gente vai calcular usando P = ρ g h . Sem a pressão atmosférica pois o medidor é um manômetro, que vimos na teoria que ele calcula a pressão exercida apenas pelo fluido, tirando a atmosférica.

Beleza, então a pressão que indica tanque cheio é:

P = 0,68.9,8.300

Quando a densidade é dada sem unidade, significa que estamos considerando a da água igual a 1 e a altura deve ser usada em m m . E a pressão calculada será em N / m 2 .

Assim,

P ≈ 0,02.10 5   N / m 2

Passo 2

Agora, vamos ter que descobrir qual a altura de gasolina, mais 2   c m de águas corresponde a pressão de 0,02 . 10 5   N / m 2 .

A fórmula de pressão para mais de um fluido é

P = ρ 1 . g . h 1 + ρ 2 . g . h 2

A densidade a gente sabe dos dois fluidos, a altura de água também, a pressão resultante também, então temos tudo para descobrir a altura de gasolina.

0,02.10 5 = 0,68 * 9,8 * h + 1 * 9,8 * 20

h = 0,02.10 5 - 9,8 * 20 0,68 * 9,8

h ≈ 270,7   m m = 27,07   c m

Agora vamos ver quanto do tanque será ocupado pelo ar. A altura do tanque é 30   c m , sendo que 2   c m está ocupado por água e 27,07   c m com gasolina, assim a altura da coluna de ar será de 0,93   c m .

Resposta

h = 0,93   c m

Exercício Resolvido #7

O tanque cilíndrico na Figura abaixo está sendo cheio com água a 20 ° C por uma bomba que desenvolve uma pressão de saída de 175   k P a . No instante mostrado, a pressão no ar é de 110   k P a e H = 35   c m . A bomba para quando ela não pode mais aumentar a pressão da água. Para compressão isotérmica do ar, calcule H naquele instante.

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Passo 1

A bomba vai parar de encher o tanque de água quando a pressão no tanque for igual a pressão que ela exerce. Assim:

P a r f i n a l + P á g u a f i n a l = 175000

Nesse momento teríamos uma coluna de água Y . E de ar igual a 1,1 - Y , pois a altura do tanque é de 75 + H = 110   c m = 1,1   m .

Então teríamos a seguinte equação:

P a r f i n a l + ρ á g u a . g . Y = 175.10 3

Para resolvermos o problema precisamos encontrar o valor da pressão final de ar. O que é fácil se lembrarmos de termodinâmica. Da fórmula “PiViTi-PoVoTo”. Como é uma compressão isotérmica, temos:

P i . V i = P f . V f

P a r f i n a l = P a r i n i c i a l . V i n i c i a l V f i n a l

Então para encontrarmos o valor de Y , precisamos encontrar a forma com que a pressão de ar irá variar de acordo com o valor de Y .

Passo 2

Então se tivermos a pressão no início, o volume no início, e o volume no final, descobrimos a pressão no final por uma regra de três.

A pressão no início é dada pelo enunciado P a r i n c i o = 110000   P a

Agora vamos calcular o volume inicial. O volume de um cilindro é área da base vezes altura.

Chamando a área da base de A , temos que o volume ocupado por no início era de:

V i n í c i o = A . h = A . 0,75

E o volume final será em função de Y , sendo assim:

V f i n a l = A . ( 1,1 - Y )

Passo 3

Agora temos tudo para descobrir a pressão final

P a r f i n a l = 110000 . A . 0,75 A . ( 1,1 - Y )