Força em Comportas

Teoria Completa

Lembra que você descobriu que fazer cerveja era a profissão da sua vida?

Na primeira teoria você descobriu que ama fazer cerveja e resolveu fazer isso da vida. Pois bem, após algumas cervejas produzidas e muito dinheiro o tanque que armazenava a cerveja rachou. Você cortou o pedaço rachado e pretende colocar uma chapa no lugar. Pois bem, você pode colocar qualquer chapa? Quais são as forças que essa chapa tem que resistir?

Esse é seu recipiente furado:

Que ao colocarmos uma chapa retangular para arrumar o buraco e podermos preencher de cerveja, pode ser esquematizado assim:

Em vermelho a chapa que tampa o furo, o amarelo é a cerveja e em azul o comportamento da pressão devido à cerveja, certo? Quanto mais fundo maior a pressão.

Mas e ae como descobrir o quanto essa pressão vai gerar de força na chapa? E onde seria aplicada essa força? No centro de gravidade da placa?

É isso que vamos aprender a responder nessa teoria.

Começaremos aprendendo a descobrir a força gerada pela pressão hidrostática em uma chapa.

Na verdade não é aprender e sim relembrar, pois já vimos isso em resistência do material.

Lembra quando você tinha uma viga e sobre ela um carregamento? Tipo assim:

Bem, no nosso caso a gente tem a seguinte configuração.

Onde P 1 = ρ c e r v e j a . g . h 1 e P 2 = ρ c e r v e j a . g . h 1 + L E a área da nossa chapa é A = B . L

OBS: Observe que nas pressões não levem em conta a pressão atmosférica. Bem, é porque ela atua em cima da cerveja e fora do tanque, então ela se anula. Isso geralmente vai ocorrer, só não irá se algum dos lados for tampado. Então preste atenção nisso para considerar ou não a pressão atmosférica.

Para encontrar a força atuante na placa iremos encontrar a pressão média na placa e depois multiplicar essa pressão pela área da placa, pois F = P . A .

Para encontrar a pressão média é simples, basta somar as pressões nos extremos e dividir por 2, já que a pressão varia linearmente.

Então vamos ter que:

F = P m . A

F = P 1 + P 2 2 . A

F = ρ c e r v e j a . g ( h 1 + h 1 + L ) 2 . A

F = ρ c e r v e j a . g h 1 + L 2 . A

Como estamos estudando apenas placas planas, o centro de gravidade de uma placa plana homogênea é sempre metade de seu comprimento, ou seja, no seu centro geométrico (conhecido também como centroide). Sendo assim, podemos entender que:

h 1 + L 2 = h c g → P r o f u n d i d a d e   d o   c e n t r o   d e   g r a v i d a d e   d a   p l a c a

Assim, chegamos na equação que vamos usar para calcular a força exercida por uma pressão em qualquer placa plana submersa em um fluido.

F = ρ c e r v e j a . g . h c g . A p l a c a

Esse termo ρ c e r v e j a . g . h c g nada mais é do que a pressão no centro de gravidade da placa P c g .

F = P c g . A p l a c a

Isso serve para qualquer placa plana homogênea que você for utilizar, não importa se é um triângulo, quadrado ou círculo.

Metade do problema já foi, agora precisamos apenas descobrir onde essa força será aplicada.

Eu havia perguntado se seria no centro de gravidade assim como a força peso. Vamos ver se faz sentido?

Olhando para o sistema que esquematizamos, a parte em verde representa uma maior pressão que a em branco. O que nos mostra que a parte de baixo da chapa é submetida a uma pressão bem maior que a de cima, será que poderíamos representar a força resultante dessa pressão no meio da chapa?

Não, né?! Se a parte de baixo é submetida a maior pressão e tem a mesma área que a parte de cima, então a força exercida em baixo é maior que a em cima, assim ao representar a força resultante no centro de gravidade estaríamos cometendo um grande erro.

O ponto de aplicação dessa força é o chamado, centro de pressão.

E as coordenadas dele são:

y c p = - γ . s e n θ . ∫ y 2 . d A F

x c p = - γ . s e n θ . ∫ x y . d A F

Vamos explicar o que é cada termo agora.

1- γ é o peso específico do fluido em questão.

2- θ é o ângulo que a placa faz com a horizontal.

3- F é a força que acabamos de calcular, podemos escrever como P c g . A também.

4- A integral, parte louca, que ninguém gosta. Bem, essa é a parte que temos que tratar com carinho. Bem, essa integral é o momento de inércia da chapa.

No primeiro, caso o momento de inércia em relação ao eixo x calculado no plano da placa. Por isso podemos escrever assim a fórmula para encontrar a coordenada y c p

y c p = - γ . s e n θ . I X X P c g . A

E na coordenada x c p , a integral corresponde ao momento de inercia I x y . Assim,

x c p = - γ . s e n θ . I x y P c g . A

Então no caso do nosso exemplo. A coordenada x c p é 0 , pois é um retângulo e é simétrico nessa direção.

y c p é

y c p = - γ c e r v e j a . s e n 90 ° . I x x ρ c e r v e j a . g . h c g . A p l a c a

Podemos cortar γ c e r v e j a   com o ρ c e r v e j a . g que são a mesma coisa.

E então chegamos em:

y c p = - I x x h c g . A p l a c a

Bem, o momento de inércio de um retângulo é

I x x = b . L 3 12

Lembrando que a área da nossa placa é A p l a c a = b . L , então a nossa coordenada y c p é:

y c p = - L 2 12 h c g

Importantíssimo: As coordenadas y c p e x c p que calculamos são em relação ao centro de gravidade da placa. Assim, se encontramos - 5 e o centro de gravidade da peça está em 20 , significa que a posição do centro de pressão é 15 . E o sinal negativo significa que está para baixo ou a esquerda do centro de gravidade. Então se y c p < 0   o centro de pressão está abaixo do centro de gravidade e se x c p < 0   o centro de pressão está à esquerda do centro de gravidade.

Mas para que saber a posição de aplicação dessa força? Lembra dos exercícios de estática que tínhamos um objeto, várias forças e o problema pedia qual era a força em uma posição aleatória que manteria o sistema em equilíbrio?

Bem, muitos dos exercícios que você verá daqui para a frente abordarão uma represa, a comporta da represa e lhe fará perguntas desse tipo, qual a força nesse ponto para que a comporta não abra.

Então, não se esqueça de considerar a força de pressão que acabamos de aprender como encontrar, a força peso e a força de reação se tiver algum apoio.

Ahh, e na estática trabalhamos sempre com a ajuda de duas equações:

∑ F = 0   e   ∑ M = 0

Além disso, vale relembrar o momento de inércia do círculo, triangulo e retângulo. E suas respectivas áreas também.

Fluido dos dois lados

Vimos o caso em que temos fluido de um lado e o outro lado está sujeito apenas a pressão atmosférica.

Mas o que acontece se tivermos uma coluna de fluido do outro lado também? Como na figura abaixo:

Vai rolar que irá surgir uma força de pressão do outro lado, aplicada em um outro centro de pressão (representados pelos pontos na comporta). As formulas para calcularmos isso continuam sendo as mesmas.

O que vai acontecer é que agora temos mais uma força e mais um ponto de aplicação que devemos levar em conta quando formos montar a equação de momento ou de força. 😉

É isso galera, a matéria consiste em encontrar a força e a o centro de pressão, porém as questões vão abordar parte de estática, trigonometria e outras matérias. Então vamos aos exercícios treinar e pegar o jeito dessas questões.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Explique e diferencie o centro de pressão e centróide.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar falando de centróide ou centro geométrico, que é algo nada novo para gente.

Centróide é o ponto que representa que dividindo o corpo naquele ponto você terá igualdade de área se for um centroide de área, de volume se for um centroide de volume.

Quando temos um corpo homogêneo o centroide coincide com o centro de gravidade representando assim o ponto de aplicação da força Peso P .

Já o centro de pressão representa o ponto em que é aplicado a força causada pela pressão de um fluido. Como já vimos a pressão não é constante ao longo do comprimento do fluido e por isso não faz sentido ser aplicada no centroide.

Resposta

Centróide ponto de aplicação da força peso e centro de pressão ponto de aplicação da força de pressão.

Exercício Resolvido #2

Um tanque de água ( d = 1,0 ) tem uma comporta em sua parede vertical com 5   m de altura e 3   m de largura. O topo da comporta está 2   m abaixo da superfície. Qual é a força hidrostática sobre a comporta? E a que distância abaixo da superfície está o centro de pressão da força hidrostática?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, queremos saber a força hidrostática sobre a comporta. Vimos na teoria que a fórmula para isso é:

F = P c g . A

E a pressão no centro de gravidade é dada por:

P c g = ρ f l u i d o . g . h c g

Onde h c g representa a profundidade do centro de gravidade.

No nosso caso sabemos que o centro de gravidade da comporta está no meio dela:

y c g = 5 2 = 2,5   m

Como queremos a profundidade, então temos:

h c g = 2 + 2,5 = 4,5   m

Já que temos dois metros de água acima da comporta.

Assim, a força hidrostática na comporta é:

F = ρ á g u a . g . 4,5 . A

A área da comporta é simples, pois ela é um retângulo.

A = L . B = 3.5 = 15   m 2

Como o líquido tratado é água e a densidade foi dada como 1   g / c m 3 que é igual a 1000   k g / m 3

Assim, a força hidrostática é:

F = 1000   .   9,8   .   4,5   .   15

F = 6,61   10 5   N

Passo 2

Agora queremos descobrir a posição do centro de pressão.

Vimos na teoria que a posição vertical do centro de pressão é dada por:

y c p = - γ f l u i d o . s e n θ . I x x γ f l u i d o . h c g . A

Cortando a densidade mássica e substituindo θ por 90 ° , que é o ângulo que a comporta faz com a horizontal, temos:

y c p = - I x x 4,5.3 . 5

Lembrando que o momento de inércia de uma chapa retangular é:

I x x = B .   L 3 12 = 3.5 3 12

Substituindo isso, temos:

y c p = - 3.5 3 12   .   4,5   , 3.5 = - 5 2 12   .   4,5   = - 5 12   .     0,9

y c p = - 0,463   m

Bem essa posição é em relação ao centro de gravidade, então para acharmos essa posição em relação a superfície devemos fazer:

h c p = h c g - y c p

h c p = 4,5 + 0,463

h c p = 4,963   m

Resposta

F = 6,61   10 5   N

h c p = 4,963   m

Exercício Resolvido #3

A comporta A B na Figura abaixo tem 1,5   m de largura, está articulada em A e limitada por um limitador em B . A água está a 20 °   C . Calcule ( a ) a força no limitador B