Teorema de Transporte de Reynolds e Princípio da Continuidade

Teoria Completa

Teorema de Transporte de Reynolds

Estamos estudando os fluidos em movimento. Será que algo do que estudamos com sólidos ainda vale?

A resposta é sim, claro que vale. As lei de Newton não deixariam de valer apenas porque o gelo passou a ser água.

Tudo que estudamos vale para as partículas do fluido. Só que em um escoamento na grande maioria das vezes estaremos atrás de um resultado do sistema (englobado no volume de controle) por exemplo: a força de arrasto que a água exerce sobre o casco de um navio. E não na aceleração de uma única partícula de água.

As leis fundamentais que estudamos: Leis de Newton, leis da termodinâmica, quantidade de movimento, conservação de energia, valem então para o Volume de Controle?

Elas valem para o material, valem para uma partícula do fluido, mas não valem para o volume de controle. Mas como assim???

Calma, Watson, que vamos resolver esse mistério. Para usar as leis fundamentais no volume de controle será necessário uma adaptação, uma nova abordagem. E é ai que entra o Teorema de Transporte de Reynolds.

O que esse teorema faz é possibilitar aplicarmos as equações básicas que vimos na teoria passada para o volume de controle. Por meio dele, vamos encontrar:

  • Equação da conservação da massa (princípio da continuidade)
  • Equação da conservação do momento linear
  • Equação da conservação do momento angular
  • Equação da conservação da energia

Todas elas válidas para o Volume de Controle!

Nesse tópico vamos mostrar como funciona o teorema de forma geral e como encontrar a equação da conservação da massa para o volume de controle!

Forma geral do teorema

Veremos o teorema para o caso qualquer, em que a forma pode variar e a velocidade do volume de controle pode r ser qualquer uma. Para esse caso o teorema de transportes de Reynolds prevê a seguinte equação para adaptar as leis básicas que falamos:

d d t B s i s t e m a = d d t ∫ V C β ρ d V + ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Vamos agora entender o que cada item dessa equação significa.

B representa uma propriedade qualquer do fluido. (Para a gente B vai variar em massa, quantidade de movimento e energia).

V C é a sigla para volume de controle. β é a derivada da propriedade B em relação a massa, assim β = d B / d m .

D V é o infinitésimo de volume.

S C é a sigla para superfície de controle. Lembra que falei que uma característica do volume de controle seria ter duas superfícies que o fluido iria atravessar fazendo um ângulo α , que preferencialmente será 90 ° . Bem, na fórmula tem um θ que é θ = 90 - α , sendo assim θ é o ângulo que o escoamento faz com o vetor normal (aquele que faz 90 ° ) a superfície de controle.

v r é a velocidade relativa entre a velocidade de escoamento do fluido e a velocidade do volume de controle ( v r = v - v v c ), onde v é a velocidade do fluido e v v c é a velocidade do volume de controle .

Por que preferencialmente seria α = 90 ° , por que assim, o escoamento seria normal a superfície de controle e assim θ = 0 e c o s θ = 1 .

Sim, tá quase hahaha Então a equação que temos é a seguinte: A variação da nossa propriedade B no tempo é igual a variação dessa propriedade dentro do volume de controle, mais a variação de fluxo dessa propriedade, ou seja, o que sai menos o que entra.

O caso, simples e mais comum que veremos é o caso de um volume de controle fixo, ou seja, tem a forma e posição fixa. Assim o que vai mudar é que como o volume de controle não está se movendo a velocidade dele é zero, assim a velocidade que vemos na equação passa a ser igual a velocidade de escoamento do fluido, v .  

E como a forma é fixa, temos que:

d d t ∫ V C β ρ d V = ∫ V C d d t β ρ d V

Assim, ficamos com a seguinte equação:

d d t B s i s t e m a = ∫ V C d d t β ρ d V + ∫ S C β ρ . v . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C β ρ . v . c o s θ   d A e n t r a d a

Princípio da continuidade ou Conservação de massa

Até aqui tudo vimos foi a base teórica do que vamos aplicar no futuro. Isso tudo foi desonvolvido com um objetivo: permitir que apliquemos as leis básicas de um sistema para um volume de controle.

É o que começaremos a ver agora, aplicar essa teoria. O primeiro princípio é o de conservação de massa.

Quando tratávamos de um sólido era óbvio que a massa se conservava, mas agora isso não é tão trivial assim.

Então em um sistema em que a massa se conserva, temos que d m d t = 0 .

Então essa será nossa primeira aplicação do teorema de transporte de Reynolds. Onde a propriedade analisada será a massa. Assim, B = m e β = d m d m = 1 .

Então vamos escrever a equação que temos dado um volume de controle qualquer.

d d t m s i s t e m a = d d t ∫ V C ρ d V + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Agora, você lembra o que seria ρ d V se assumirmos uma densidade constante? Lembra que a densidade é massa sobre volume, assim:

d m = ρ . d V

Opa, então na verdade temos:

d d t m s i s t e m a = d d t ∫ V C d m + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Fazendo a integral de d m em relação ao volume de controle, temos que:

d d t m s i s t e m a = d d t m V C + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Agora, como nosso sistema respeita a conservação de massa, temos que d m d t = 0 , asism chegamos na equação:

∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

O fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída.

Lembra que na teoria passada falamos de vazão mássica? Onde a vazão mássica era

m ˙ = ρ . Q

E Q é a vazão volumétrica que foi definida para gente como:

Q = ∫ A V → . d A

Esse foi o jeito vetorial de se escrever, mas quando estudamos vetores, anos atrás vimos que um produto escalar é igual a:

Q = ∫ A V → . d A = ∫ A v . c o s θ . d A

Assim a vazão mássica é:

m ˙ = ρ . ∫ A v . c o s θ . d A

Como estamos assumindo um escoamento permanente podemos colocar a densidade para dentro ou fora da integral, assim chegamos que:

m ˙ = ∫ A ρ . v . c o s θ . d A

Então, nossa equação é a seguinte:

∑ m ˙ s a i d a = ∑ m ˙ e n t r a d a

Então dado um volume de controle qualque se somarmos todos fluxos de massa entrando o valor encontrado deve ser igual ao de se somarmos todos os fluxos de massa saindo.

Então vamos fazer um resumo dessa teoria.

Conservação de massa em um escoamento permanente:

∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

∑ m ˙ s a i d a = ∑ m ˙ e n t r a d a

Vamos exercitar o que aprendemos? #SoVem

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Dado o escoamento de um fluido em um certo volume de controle, encontre a equação do Princípio da Continuidade considerando (a) escoamento permanente (b) escoamento permanente e fluido incompressível.

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Passo 1

Esse exercício quer achar a equação da conservação da massa (Princípio da Continuidade) para dois casos que vamos usar muuuito daqui pra frente! Ou seja, vamos usar o resultado desse exercício toda hora. :D

Podemos usar a equação mais geral do princípio da continuidade para começar:

d d t m s i s t e m a = d d t m V C + ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Na letra a do nosso exercício, o escoamento é só permanente. Isso significa que as propriedades não variam com o tempo. Em matematiquês, permanente quer dizer que as derivadas em relação ao tempo são zero, Logo:

d d t m s i s t e m a = 0  

d d t m V C = 0

Então, a equação do princípio da continuidade fica assim:

∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como não temos mais informações para simplificar, essa já é resposta da letra a.

Passo 2

Na letra b, além do escoamento ser permanente (e com isso já podemos usar a última expressão que achamos), o fluido é incompressível.

∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Fluido incompressível quer dizer que a massa específica é constante! Se é constante, ela não varia e pode sair da integral:

ρ ∫ S C v r . c o s θ   d A s a i d a = ρ ∫ S C v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como se trata do mesmo fluido que está entrando e saindo, podemos cortar ρ

∫ S C v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Como não temos mais informações para simplificar, essa é a resposta da letra b 😉

Nos próximos exercícios, vamos aplicar essa equação!

Resposta

a) ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

b) ∫ S C v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Sobre um escoamento permanente de um fluido incompressível em um tanque com uma entrada e duas saídas, analise as seguintes informações e informe se são verdadeiras ou falsas.

I – A massa específica não varia ao longo do escoamento porque se trata de um escoamento permanente.

II – A massa específica varia ao longo do escoamento. Logo, ρ =   ρ ( x ,   y , z ,   t )

III – Devido a hipótese de escoamento permanente, as derivadas das propriedades do escoamento em relação ao tempo são zero.

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Passo 1

Exercício de verdadeiro ou falso! Vamos lá analisar cada afirmação.

I – A massa específica não varia ao longo do escoamento porque se trata de um escoamento permanente.

A massa específica do fluido de fato não varia ao longo do escoamento. Mas isso acontece porque é um fluido incompressível ( ρ é constante). Logo, a afirmação é falsa, pois a explicação está errada. Próxima!

II – A massa específica varia ao longo do escoamento. Logo, ρ =   ρ ( x ,   y , z ,   t )

Acabamos de ver que a massa específica não varia ao longo do escoamento porque é um fluido incompressível. Então, ρ ≠   ρ ( x ,   y , z ,   t ) . Muito pelo contrário: ρ =   c o n s t a n t e . Portanto, afirmação falsa!

III – Devido a hipótese de escoamento permanente, as derivadas das propriedades do escoamento em relação ao tempo são zero.

Lindíssima, falou tudo! Quando consideramos que o escoamento é permanente, queremos dizer que as propriedades não variam com o tempo. Na matemática, isso significa que as derivadas em relação ao tempo são zeradas.

Fique sempre ligado nas hipóteses que o enunciado deixa a gente fazer!

Resposta

I – Falsa

II – Falsa

III – Verdadeira

Exercício Resolvido #3

Fox, R. W., Introdução à mecânica dos fluidos, 7ª ed

Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R = 75   m m . Calcule a velocidade de entrada uniforme, U , se a distribuição de velocidade através da saída é dada por u = u m á x 1 - r 2 R 2 e u m á x = 3   m / s

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Passo 1

O primeiro passo para resolver qualquer problema de escoamento é listar as características do escoamento que você conhece.

Nesse caso, o nosso escoamento é permanente então:

d ρ d t = 0

E incompressível já que o fluido é água. Ser incompressível significa que os fluxos de entrada e de saída de água devem ser iguais.

Assim, pelo que vimos na teoria, se há conservação de massa a equação que usamos é:

∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a = ∫ S C ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Isso para um volume de controle qualquer. Então vamos escolher o nosso de forma a nos ajudar, isso quer dizer com forma e posição fixa. E que as superfícies que atravessam o escoamento façam 90 °