Vazão e Volume de Controle

Teoria Completa

Vazão Volumétrica

Lá na Estática dos Fluidos nós estudamos o fluido paradinho (estátua!). Só que agora, vamos estudar a Cinemática dos Fluidos. Sabe o que isso quer dizer? :D Quer dizer que vamos estudar o fluido em movimento. Yes!

Já que o nosso fluido está fluindo, escoando, se movimentando agora, uma variável que vai nos acompanhar daqui para frente é a famosa Vazão! A vazão nos diz a quantidade de fluido que está escoando num determinado período. Certo?

Agora, tenho outra notícia importante para te dar. Vamos nos deparar com dois tipos de vazões diferentes: a volumétrica e a mássica. Como o nome já diz, a vazão volumétrica diz o quanto de volume está passando naquele período e a vazão mássica diz o quanto de massa está passando naquele período.

No Sistema Internacional, a unidade de vazão volumétrica (Q) é m 3 / s e a unidade de vazão mássica ( m ˙ ) é k g / s . Fechado?

E quanto aos números? Como eu encontro a vazão volumétrica? Quando estudamos vazão vimos que ela é função da velocidade ( V → ) e da área ( A ):

Q = V → . A

Assim, a vazão volumétrica de um objeto é:

Q = ∫ A V → . d A

É através dessa equação que iremos encontrar a vazão de uma superfície em um escoamento.

E a vazão mássica, como que fica?

A vazão mássica é dada pelos mesmos termos que a vazão volumétrica, mas também precisa da massa específica ( ρ ) :

m ˙ = ∫ A ρ . V → . d A

Bem, pela conservação da massa e sabendo que não vamos acumular nada no nosso sistema, sabemos que toda a vazão que entrar vai ter que sair, né? “Nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”. Concordamos com Lavoisier, não é mesmo?

Então,

∑ m ˙ e n t r a = ∑ m ˙ s a i

Mas qual é a relação entre Vazão Volumétrica e Vazão Mássica?

Aí mora o x da questão! Aqui em MecFlu, nessa parte da matéria, costumamos trabalhar com fluidos incompressíveis (que não conseguem se comprimir). Ou seja, a massa específica desses fluidos ρ desses fluidos é constante.

Então, podemos escrever a conservação da massa assim:

∑ ρ . Q e n t r a = ∑ ρ . Q s a i

Como ρ é constante para os fluidos incompressíveis, podemos usar para eles

∑ Q e n t r a = ∑ Q s a i

Assim, conseguiremos resolver o início de vários problemas montando a equação de vazão. Show de bola! 😉

Volume de Controle

Outra coisa muito importante para estudar Cinemática dos Fluidos é o Volume de Controle. Carinhosamente, vamos chamá-lo de VC.

Agora, queremos analisar o resultado do escoamento sobre um espaço, como a interação casco do navio com a água. Como faremos isso, vamos ter que analisar a interação de partícula com partícula?

Não! E é por isso que esse capítulo se chama Forma Integral para Volume de Controle. Justamente porque vamos olhar nossos sistema de forma macro (tudo o que está entrando e tudo o que está saindo) e não micro (interações partícula-partícula).

Para nos ajudar foi desenvolvido um “jeitinho” que permite com que obtenhamos esses resultados que não resultados do sistema, o jeitinho criado foi a utilização de um volume de controle.

O que é o volume de controle? É uma região escolhida por nós que engloba o escoamento do fluido que iremos analisar. Para isso é necessário escolher uma região que o fluido escoe por ela.

Imagine água escoando por uma tubulação e você deseja saber a variação de energia que o fluido tem quando sai da região A para a B :

Escolha do Volume de Controle

Qual dos três volumes de controle você acha que seria capaz de nos dar a resposta que queremos: Laranja? Vermelho? Ou Roxo?

Se fossemos usar o laranja seriamos capazes de obter apenas as propriedades da região A , se usássemos o roxo seríamos apenas capazes de estudar a região B . Já o volume de controle de controle vermelho esse engloba o liquido na região A e B , possibilitando assim que analisemos a diferença entre a energia nessas regiões.

A dica é escolher o volume de controle que englobe as variáveis que você precisa descobrir para resolver o exercício e as variáveis que o enunciado já te deu!

Vamos as propriedades do volume de controle

Como o nome já diz é um volume. Mas eu acabei de representar com uma superfície?!!!

Não, não, aquilo é um volume, onde você só está vendo uma superfície. Como não conseguimos representar as 3 dimensões a profundidade que normalmente é constante não é representada. Mas nunca esqueça que isso é um volume e existe uma profundidade. Isso é importante para os próximos itens.

O volume de controle sempre terá duas superfícies nas quais o fluido irá escoar atravessando-a (perpendicularmente se possível). Uma será a superfície de entrada e a outra será a superfície de saída. É aqui que entra a profundidade.

Imagina aí que no exemplo anterior o cano tem 1 metro de altura e profundidade de 0,5   m , assim a superfície do volume de controle de entrada seria a superfície formada pela altura e profundidade do cano, mais especificamente, seria a secção reta do cano.

O volume de controle é um conceito, ele não está lá de verdade, sendo assim não pode alterar nada no escoamento.

Ele ainda pode ser fixo, móvel e até deformável.

Deu pra entender tudo até agora? Pareceu difícil?

Com o tempo isso vai se tornar simples, vamos treinar a escolha e equações que esse volume de controle irá gerar.

Partiu praticar a escolha do volume de controle e o cálculo das vazões? Exercita aí! 😊

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

A vazão volumétrica de um fluido em escoamento em uma tubulação de um ponto A até um ponto B é Q = 5   m 3 / s . Calcule a vazão mássica do fluido nesse escoamento sabendo que (a) o fluido é a água a 20°C (b) o fluido é etanol a 20°C. (c) O escoamento de qual fluido possui maior vazão mássica? Por que?

Dados: ρ á g u a = 1000   k g / m ³ , ρ e t a n o l = 789   k g / m ³

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Passo 1

Faaala! Para encontrar a vazão mássica a partir da vazão volumétrica, podemos usar essa fórmula aqui:

m ˙ =   ρ Q

Mas, essa fórmula só pode ser usada no caso de fluido incompressível (ou seja, um fluido no qual podemos considerar ρ (massa específica) constante.

Ótimas notícias: tanto o etanol quanto a água podem ser considerados incompressíveis aqui nesse exercício, pois a 20°C eles estão na fase líquida. ;D Então vamos fazer essa hipótese de fluido incompressível e utilizar essa fórmula!

No caso da água, ρ á g u a = 1000   k g / m ³ . Substituindo:

m a ˙ =   ρ a Q

m a ˙ =   1000   k g m ³ × 5   m ³ s

Logo:

m a ˙ =   5000   k g s

Passo 2

Show! Para calcular a vazão mássica do etanol, vamos usar o mesmo raciocínio, pois o etanol também pode ser considerado incompressível a 20°C.

m e ˙ =   ρ e Q

Sabendo que a massa específica do etanol é ρ e t a n o l = 789   k g / m ³ e lembrando que a vazão volumétrica é a mesma Q = 5   m 3 / s

m e ˙ =   789   k g m ³ × 5   m ³ s

Fazendo as contas:

m e ˙ =   3945   k g s

Com isso, encontramos a vazão mássica do escoamento de etanol. :D

Passo 3

Encontramos na letra (a) que a vazão mássica de água é m a ˙ =   5000   k g s . Na letra b, encontramos que a vazão mássica de etanol é m e ˙ =   3945   k g s

Então, a maior vazão mássica é do escoamento de água!

E por que isso acontece? Porque nos dois escoamentos temos a mesma vazão volumétrica, mas a água possui massa específica maior que a do etanol (ambos a 20°C). Com isso, pela fórmula m ˙ =   ρ Q , o escoamento de água terá maior maior vazão mássica.

Resposta

(a) m a ˙ =   5000   k g s

(b) m e ˙ =   3945   k g s

(c) A água, pois sua massa específica é maior que a do etanol. Além disso, a vazão volumétrica é a mesma.

Exercício Resolvido #2

Uma mangueira de incêndio tem um diâmetro interno de 125   m m e água está escoando a 2,271   m 3 / m i n . O escoamento sai através de um bocal com um diâmetro D n . Para escoamento permanente, qual deve ser o D n , em m m , para haver uma velocidade média de saída de 25   m / s ?

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Passo 1

Como o fluido é água então nosso escoamento além de permanente e incompressível.

Assim, a quantidade de água que entra tem que ser igual a que sai.

Então nesse caso nosso volume de controle será a parte da mangueira com diâmetro igual ao indicado no enunciado e o bocal de saída.

Assim iremos escrever a equação do que entra igual ao que sai, da seguinte forma:

∑ Q e n t r a d a = ∑ Q s a i d a

Q m a n g . = Q b o c a l

Q m a n g = V b o c a l . A b o c a l

A vazão da mangueira foi dada, porém em uma unidade esquisita. Vamos passar essa unidade para m 3 / s que é a padrão.

Para isso basta dividir por 60 , já que um minuto tem 60   s .

Q m a n g = 2,271 60 = 0,03785   m 3 / s

Assim, temos que:

0,03785 = V b o c a l . A b o c a l

Como queremos uma velocidade de 25   m / s , a área vai ser:

A b o c a l = 0,03785 25

A b o c a l = 0,001514   m 2

Agora para descobrir o diâmetro, basta lembrarmos a área de um circulo.

A b o c a l = π . D n 2 4

π D n 2 4 = 0,001514

D n = 4.0,001514 π

D n = 0,044   m

Em milímetros isso vale:

D n = 44   m m

Resposta

D n = 44   m m

Exercício Resolvido #3

Três tubos fornecem água em regime permanente a 20 ° C para um tubo maior de saída mostrado na figura abaixo. A velocidade V 2 = 5   m / s e a vazão de saída Q 4 = 120   m 3 / h . Encontre a V 1 , b V 3 e c V 4 se sabemos que aumentando Q 3 em 20 % Q 4 aumentará em 10 % .

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Passo 1

Novamente temos um escoamento em um sistema. E como sabemos que a água é um fluido incompressível a 20 ° C , então temos que a vazão de entrada é igual a vazão de saída. Podemos escrever isso como:

∑ Q e n t r a d a = ∑ Q s a i d a

Q 1 + Q 2 + Q 3 = Q 4

Vamos agora isolar o que temos para um lado e o que não temos para o outro. Como o enunciado deu Q 4 e V 2 (com o qual a gente pode descobrir Q 2 ), temos:

Q 1 + Q 3 = Q 4 - Q 2

O problema é que a vazão dada de 4 está em m 3 / h e a velocidade do fluido em 2 foi dada em m / s ,assim precisamos passar a vazão para m 3 / s .

Q 4 = 120 m 3 h . 1 3600 h s - 0,0333 m 3 s  

E já que estamos aqui, vamos calcular o V 4 e matar logo o item c:

Q = V . A

V = Q A

V 4 = Q 4 A 4 = 0,0333 π . 0,09 2 4

V 4 = 5,24 m s

Se liga que a gente passou aquele diâmetro que estava em cm pra metro antes de resolver, falou?

Passo 2

Agora vamos usar o fato que “se sabemos que aumentando Q 3 em 20 % , Q 4 aumentará em 10 % ”. Olha só o que isso significa... Atualmente temos que:

Q 1 + Q 2 + Q 3 = Q 4

Se aumentarmos Q 3 :

Q 1 + Q 2 + 1,2 Q 3 = 1,1 Q 4

E podemos fazer a segunda equação menos a primeira, obtendo:

0,2 Q 3 = 0,1 Q 4

Então um aumento de 0,2   da vazão de água em 3 é igual a um aumento de 0,1 da vazão em 4 .

Como sabemos Q 4 , conseguimos achar Q 3 .

Q 3 = Q 4 2 = 0,0333 2

Q 3 = 0,0166   m 3 / s

Agora para achar a velocidade de vazão basta dividir a vazão pela área.

V 3 = Q 3 A 3 = 0,0166 π . 0,06 2 4

V 3 = 5,89   m / s

Passo 3

Finalmente podemos resolver o primeiro item:

Como sabemos Q 4 , Q 3 e V 2 conseguimos saber o valor de Q 1 , pois lá no inicio montamos a equação de entradas e saídas do sistema.

Q 1 + Q 2 + Q 3 = Q 4

Agora, isolando a incógnita Q 1 , temos:

Q 1 = Q 4 - Q 2 - Q 3

Q 1 = 0,0333 - V 2 . A 2 - 0,0166

Substituindo V 2 e A 2 :

Q 1 = 0,0166 - 5 . π . 0,05 2 4

Q 1 = 0,00685   m 3 / s

Agora, sabendo a vazão em 1 , facilmente conseguimos descobrir a velocidade média do fluido nessa região:

V 1 = Q 1 A 1 = 0,00685 π 0,04 2 4

V 1 = 5,45   m / s

Resposta

a   V 1 = 5,45   m / s

b   V 3 = 5,89   m / s

c   V 4 = 5,24   m / s

Exercício Resolvido #4

Considere o escoamento incompressível e permanente através do dispositivo mostrado abaixo. Determine o módulo da vazão volumétrica através da abertura 3 e verifique se o fluxo é para fora ou para dentro do dispositivo.

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Passo 1

Vimos na teoria que em escoamento incompressível e permanente o que entra tem que ser igual ao que sai, pois o volume do nosso sistema é fixo e nosso fluido é incompressível.

Assim tudo que entra é igual a tudo que sai:

∑ Q e n t r a d a = ∑ Q s a i d a

A gente sabe que o fluido entra em 1 e sai em 2 . Porém não temos ideia do que está acontecendo em 3 . Então vamos assumir que esta entrando.

Por que eu fiz isso? A gente precisa montar uma equação com entradas e saídas, certo? Então eu preciso supor que ele é entrada ou saída. Se eu acertar minha suposição o valor que eu achar vai ser positivo. Se eu errar ele vai ser negativo. Então vamos lá.

Vamos montar a equação de entradas e saídas:

Q 1 + Q 3 = Q 2

V 1 . A 1 + Q 3 = V 2 . A 2

Q 3 = V 2 . A 2 - V 1 . A 1

Substituindo os valores que temos nas figura, chegamos em:

Q 3 = 10   .   0,05 - 3   .   0,1  

Q 3 = 0,5 - 0,3  

Q 3 = 0,2   m 3 / s

Opaa, deu positivo, então eu acertei o fluido está entrando.

Resposta

Q 3 = 0,2   m 3 / s

Fluido entrando no sistema.

Exercício Resolvido #5

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011

Água escoando por um tubo com 8   c m de diâmetro entra em uma seção porosa, como mostra a figura abaixo, que permite uma velocidade radial uniforme v w através das superfícies das paredes por uma distância de 1,2   m . Se a velocidade média na entrada V 1 for igual a 12   m / s , determine a velocidade de saída V 2 se a v w = 15   c m / s para fora do tubo ou b v w = 10   c m / s para dentro do tubo. ( c ) Qual valor de v w fará V 2 = 9   m / s ?

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Passo 1

Então galera, esse é um exercício que devemos calcular o balanço de água que entra igual a água que sai, ou seja:

∑ Q e n t r a d a = ∑ Q s a í d a

Passo 2

Calcularemos cada vazão separadamente, a começar por Q 1 que é a mais simples.

Lembramos que a vazão é dada pelo produto da área A da seção e da velocidade média V do fluido.

Nos é passado que V 1 = 12   m / s basta então calcular A 1 .

Como a área é de um círculo de diâmetro d = 0,08   m

A 1 = π d ² 4

A 1 = π * ( 0,08 ) ² 4

A 1 = 0,005   m ²

Logo se   Q 1 = V 1 A 1 :

Q 1 = 12 * 0,005

Q 1 = 0,06 m 3 s

A vazão Q 2 possui a mesma área, ou seja,

A 2 = A 1 = 0,005   m ²

Então Q 2 = 0,005 V 2

Agora para a vazão Q w , devemos utilizar outra área para o escoamento.

Como o tubo é cilíndrico devemos calcular a área da superfície de saída/entrada como sendo a casca do cilíndro:

A w = π d L

Onde L = 1,2   m .

A w = π * 0,08 * 1,2

A w = 0,3   m ²

O que nos dá uma vazão de:

Q w = v w A w

Q w = 0,3 v w

Passo 3

Na letra a a seção porosa trabalha como saída, então:

  Q 1 = Q 2 + Q w

Sabemos que:

0,06 = 0,005 V 2 + 0,3 v w

Para v w = 0,15   m / s :

0,06 = 0,005 V 2 + 0,3 * 0,15

Logo V 2 :

V 2 = 0,06 - 0,045 0,005

V 2 = 3 m s

Passo 4

Na letra b a seção porosa trabalha como entrada, então:

Q 1 + Q w = Q 2

0,06 + 0,3 v w = 0,005 V 2

Se v w = 0,10   m / s :

V 2 = 0,06 + 0,3 * 0,10 0,005

V 2 = 18 m s

Passo 5

Para a letra c calcularemos v w dado que V 2 = 9   m / s :

Como não sabemos se Q w é de entrada ou saída, vou supor que seja de saída:

Q 1 = Q 2 + Q w

0,06 = 0,005 * 9 + 0,3 v w

v w = 0,06 - 0,045 0,3

v w = 0,05 m s

Repare que nossa suposição estava correta. Caso v w fosse negativo, Q w seria de entrada.

Resposta

a   V 2 = 3 m s

b   V 2 = 18 m s

c   v w = 0,05 m s

Exercício Resolvido #6

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Quando um jato líquido, regido pela gravidade, sai de uma fenda em um tanque, como na figura abaixo, uma aproximação para a distribuição de velocidade na saída é

u ≈ 2 g h - z 1 / 2  

onde h é a profundidade da linha de centro do jato. Próximo à fenda, o jato é horizontal, bidimensional, e de espessura 2 L , como mostrado. Encontre uma expressão geral para a vazão volumétrica total Q que sai da fenda.

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Passo 1

Nesta questão devemos aplicar a expressão que define a vazão que passa por uma área:

Q = ∫ V d A

No caso a velocidade é u e como o jato é bidimensional vamos dizer que

d A = b d z

Sendo que b é uma largura que “sai” da tela.

Passo 2

Em seguida devemos resolver nossa integral substituindo as infomrações que temos:

Q = ∫ V d A

Q = ∫ - L L u b   d z

Se u ≈ 2 g h - z 1 / 2 ,

Q = ∫ - L L 2 g h - z 1 / 2 b   d z

Podemos tirar b e g de dentro da integral:

Q = b 2 g ∫ - L L h - z 1 / 2   d z

Vamos realizar a substituição h - z = y e - d z = d y . (Obs.: nossos limites de integração também vão mudar...Como z varia de - L até L , y = h - z irá variar de h + L até h - L )

Q = b 2 g ∫ h + L h - L - y 1 / 2   d y

Q = - 2 3 b y 3 / 2 2 g   h + L h - L

Q = - 2 3 b 2 g   h - L 3 / 2 - h + L 3 / 2

Q = 2 3 b 2 g   h + L 3 / 2 - h - L 3 / 2

Resposta

Q = 2 3 b 2 g   h + L 3 / 2 - h - L 3 / 2

Exercício Resolvido #7

Um campo de velocidade é dado por V → = a z j ^ + b k ^