Equação da Quantidade de Movimento

Teoria Completa

Equação de Momento Linear

Imagine uma tubulação de água, será que quando a água escoa pela tubulação ela faz alguma força na tubulação?

Imagine que essa tubulação faz curvas, onde a tubulação faz curva há ação de forças?

Isso tudo quem vai nos responder é a quantidade de movimento, estudamos a conservação de quantidade de movimento em sólidos e agora vamos extender isso aos fluidos.

E para isso vamos usar o teorema de transporte de Reynolds.

d d t B s i s t e m a = d d t ∫ V C β ρ d V + ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Lembra que momento linear é P = m . v , então essa será nossa propriedade analizada. E β = d B d m → d m . v d m = v isso se a velocidade do escoamento for constante.

d d t m . v s i s t e m a = d d t ∫ V C v . ρ d V + ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Vamos analisar o primeiro termo: d d t m . v s i s t e m a

A massa do sistema é constante, assim temos m . d v d t , opaaa isso a gente já viu láaa no inicio da faculdade que é a aceleração:

  d d t m . v s i s t e m a = m . a

Que a segunda lei de Newton chama de força, assim

d d t m . v s i s t e m a = F s i s t e m a

∑ F s i s t e m a = d d t ∫ V C v . ρ d V + ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

O segundo termo irá ser zero sempre que tivermos um escoamento permanente, pois em um escoamento permante d ρ d t = 0 .

Assim, ficamos com:

∑ F s i s t e m a = ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Na teoria passada estudamos a propriedade da massa e lá chegamos no seguinte resultado:

m ˙ = ρ ∫ A v c o s θ . d A

Como estamos assumindo que a velocidade do nosso escoamento é constante, chegamos em:

∑ F = v . m ˙ s a í d a - v . m ˙ e n t r a d a

É essa equação que vamos usar para resolver todos nossos problemas.

Só que força é uma grandeza vetorial, assim o que vai acontecer é que iremos dividi-la de acordo com suas direções, assim ficando com três equações:

x →   ∑ F x = v x s a í d a . m ˙ s a í d a - v x e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

y →   ∑ F y = v y s a í d a . m ˙ s a í d a - v y e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

z →   ∑ F z = v z s a í d a . m ˙ s a í d a - v z e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

Moleza, certo?

Mas nem tudo são flores. Nesse sistema tem varias forças que vão poder atuar, mas uma muito conhecida e que vai aparecer frequentemente será a força de pressão.

Ou seja, não podemos esquecer de considerar a força causada por uma distribuição de pressão.

Essa força é calculada por:

∫ S C - p . c o s θ . d A

Caso, tenhamos uma pressão constante e perpendicular a superfície de controle podemos simplificar isso para

F p = ∫ S C - p d A = - p . A

Equação de Momento Angular

Estudamos o caso linear agora vamos estudar o caso angular. São bem parecido.

A nossa propriedade é o momento angular que é definido como B = ∫ r × v d m

Assim, β = d B d m = d d m ∫ r × v d m = r × v

d d t ∫ r × v d m s i s t e m a = d d t ∫ V C r × v ρ d V + ∫ S C r × v ρ v r c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ v r c o s θ   d A e n t r a d a

O primeiro termo é igual ao momento do sistema, assim:

∑ M = d d t ∫ V C r × v . ρ d V + ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Se o escoamento for permanente, temos:

∑ M = ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Vmaos usar a notação de fluxo de massa para deixar mais bonita:

∑ M = r × v s a í d a . m ˙ s a í d a - r × v e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

Essa teoria consiste em aplicar duas formulas, então vamos treinar aplicá-las fazendo alguns exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

O jato d’água da figura abaixo atinge a placa fixa na normal. Despreze a gravidade e o atrito e calcule a força F, em newtons, necessária para manter a placa fixa.

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Passo 1

Vamos começar escolhendo o volume de controle. Como estamos tratando de forças e a placa está sofrendo ação de forças ela deve ser englobada no nosso volume de controle, assim como o escoamento.

Sendo assim vamos escolher esse volume de controle:

Onde temos três superfícies em que o escoamento a atravessa perpendicularmente.

Como queremos a força F e ela atua somente na direção x , vamos montar a equação de momento apenas na direção x .

Como vimos na teoria, a equação será:

∑ F x = m ˙ c i m a . u c i m a + m ˙ b a i x o . u b a i x o - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

Onde u é a componente da velocidade do escoamento do fluido na direção x , sendo assim como o escoamento do fluido que vai para cima e para baixo não tem componente na direção x , temos que:

u c i m a   e   u b a i x o = 0

Assim a nossa equação fica assim:

- F = - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

Menos F porque a força está atuando na direção contraria ao eixo x .

O fluxo de massa a gente já viu que se velocidade e área são constantes, então:

m ˙ = ρ . v . A

Assim,

m ˙ e n t r a d a = ρ .   8 .   π . 0,1 2 4 = 0,02 π ρ

Sendo a densidade da água aproximadamente 998   k g / m 3

m ˙ e n t r a d a = 62,7   k g / s

Agora, voltando na equação da força temos:

F = 62,7 .   u e n t r a d a ≅ 501   N

Resposta

F ≅ 501   N

Exercício Resolvido #2

Na figura abaixo, a pá fixa desvia o jato d’água em uma meia-volta completa. Encontre uma expressão para a velocidade máxima do jato V 0 se a máxima força possível do suporte é F 0 .

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Passo 1

Qual é o primeiro passo??

Escolher o volume de controle, muito bem. É necessário que esse volume de controle englobe o escoamento e a pá. Assim uma boa opção é:

Passo 2

Beleza, agora o segundo passo é montar a equação de momento linear para o eixo desejado, que nesse caso é o eixo x .

∑ F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

O interessante nessa questão é você perceber que o fluxo de massa que entra é exatamente o mesmo que sai. Para isso é necessária que área de entrada e saída seja a mesma e isso confere D 0 .

Além disso, é preciso ter a velocidade igual, o que também confere, V 0 . Na vazão o sentido não importa, apenas o módulo da velocidade.

Assim, temos:

- F = m ˙ ( u s a í d a - u e n t r a d a )

Agora sim, o sentido da velocidade importa, como adotamos o sentido positivo para a direita temos que a velocidade de saída é negativa.

- F = m ˙ - V 0 - V 0 = - 2 m ˙ V 0  

Agora vamos abrir a vazão mássica. m ˙ = ρ . V 0 . π . D 0 2 4

F = 2 m ˙ V 0 = 1 2 ρ . π . V 0 2 . D 0 2  

O que a gente quer é a velocidade V 0 , sabendo que a força aplicada é F 0 , então temos:

F 0 = 1 2 ρ . π . V 0 2 . D 0 2

Isolando a velocidade:

V 0 = 2 F 0 ρ π D 0 2

Resposta

V 0 = 2 F 0 ρ π D 0 2

Exercício Resolvido #3

Calcule a força requerida para manter o tampão fixo na saída do tubo de água. A vazão é 1,5   m 3 / s e a pressão a montante é 3,5   M P a .

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Passo 1

Vamos ver se pegamos o jeito. O primeiro passo é escolher o volume de controle.

Agora, temos que descobrir a velocidade de saída do fluido. Nesse caso foi dado a vazão de saída se soubermos a área, sabemos a velocidade.

Q = v . A

A área de saída é a área do tubo menos a área do tampão.

A = π 4 . 0,25 2 - 0,2 2 = π 4 . 0,0225  

A = π . 0,005625

Assim, a velocidade será:

v = Q A = 1,5 π . 0,005625

v = 84,88   m / s

Agora, precisamos saber da velocidade de entrada. Como a água é um fluido incompressível, assim a vazão de entrada deve ser igual a vazão de saída.

Q = v . A

1,5 = v .   π . 0,25 2 4

v e n t r a d a = 30,56   m / s

Além disso haverá a ação de uma força de pressão, vimos na teoria que a força de pressão quando a pressão é constante e a área também será F p = p . A . A pressão em montante é a pressão na região de entrada.

F p = 3,5.10 6 .   π . 0,25 2 4

F p = 171,8   . 10 3   N

Passo 2

Agora vamos montar a equação de momento linear.

∑ F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

- F + F p = m ˙ u s a í d a - u e n t r a d a

- F = - F p + ρ . 1,5 .   84,88 - 30,56

F = 171,8.10 3 - 998.1,5 . 54,32

F = 90,48.10 3   N

Resposta

F = 90,48.10 3   N

Exercício Resolvido #4

Água escoa em regime permanente através do bocal mostrado, descarregando para atmosfera. Calcule a componente horizontal da força na junta flangeada.

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Passo 1

Novamente, o primeiro passo é escolher o volume de controle. Que nesse caso será o próprio bocal. Assim:

Essa questão temos que nos atentar ao fato da pressão dentro do bocal ser diferente da de quando ele sai. Assim temos uma força de pressão que não podemos esquecer.

Além disso não sabemos a velocidade de saída e para descobrir isso vamos usar a conservação de massa, isso mesmo o que aprendemos na teoria passada vai servir de auxilio nessa e nas demais teorias.

E depois disso iremos montar a equação de momento linear.

Passo 2

Vamos começar calculando a força de pressão. Vimos na teoria que se a pressão for constante:

F p = ∫ p m a n o m e t r i c a . d A

Assim, como temos pressão e área constante, a nossa força de pressão será:

F p = p m a n o m e t r i c a . A = 15.10 3 . π 0,3 2 4

F p = 1060,26   N

Agora, vamos calcular a velocidade de saída do fluido. Para isso vamos lembrar que o principio de conservação de massa, nos fornecia que o fluxo de massa que entra em um sistema incompressível e permanente deve ser igual ao fluxo de massa que sai.

Assim, chegávamos na equação:

m ˙ e n t r a = m ˙ s a í d a

ρ . Q e n t r a d a = ρ Q s a í d a

Como a velocidade e a seção reta de entrada e de saída são constantes, podemos abrir a vazão em Q = v . A .

ρ . v e n t r a d a . A e n t r a d a = ρ . v s a í d a . A s a í d a

Cortando a densidade e substituindo os valores que conhecemos temos:

1,5   .   π . 0,3 2 4 = v s a í d a . π . 0,15 2 4

v s a í d a = 1,5   0,3 0,15 2 = 1,5.2 2

v s a í d a   = 6   m / s

Porém essa velocidade é na direção de θ , iremos precisar da velocidade apenas na direção x , assim iremos decompor essa velocidade:

u s a í d a = v s a í d a . c o s θ = 6 . 3 2

u s a í d a = 3 3   m / s

Passo 3

Beleza, agora vamos aplicar a equação de momento linear:

∑ F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

As forças atuando serão a força F que atua no boca e é ela que queremos descobrir e a força de pressão. Assim temos:

F + F p = m ˙ s a í d a . 3 3 - m ˙ e n t r a d a . 1,5

F + 1060,26 = m ˙ s a í d a . 3 3 - m ˙ e n t r a d a . 1,5

As vazões mássica a gente já viu que são iguais assim,

m ˙ e n t r a d a = ρ . 1,5   . π 0,3 2 4

m ˙ e n t r a d a = 998 .   1,5   . π 0,3 2 4 = 105,81   k g / s

Voltando para a equação de momento, temos:

F = 105,81 3 3 - 1,5 - 1060,26

F ≅ - 669   N

Resposta

F ≅ - 669   N

Exercício Resolvido #5

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 206-207, ex. 4.67

(Adaptada) Um grande tanque, de altura h   =   1   m e diâmetro D   =   0,75   m , está fixado sobre uma plataforma rolante conforme mostrado. Água jorra do tanque por meio de um bocal de diâmetro d   =   15   m m . A velocidade uniforme do líquido saindo do bocal é, aproximadamente, V =   2 g y , em que y é a distância vertical do bocal até a superfície livre do líquido. Determine a tração no cabo para y   =   0,9   m .

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Passo 1

Para começar, vamos escolher o volume de controle (VC)?

Dentro do volume de controle, precisamos incluir o tanque (que sofre a ação a força de tração) e a saída de água pelo bocal (já que conhecemos sua velocidade!).

Esse VC está destacado em vermelho na figura abaixo:

Passo 2

Show! Vamos então para o Passo 2: utilizar a equação de momento linear!

Vamos usar a equação para o eixo x, pois a velocidade imediatamente na saída do bocal encontra-se apenas nessa direção. Além disso, é no eixo x que está a tração, que é quem precisamos encontrar.

Outra vantagem de analisar a conservação do momento linear no eixo x: não tem outra força atuando nele. :D A força peso atua no eixo y.

Então vamos lá! Assumindo escoamento permanente, fluido incompressível, pressão atmosférica atuando de forma simétrica no tanque e propriedades uniformes, podemos usar essa equação:

∑ F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

No VC, não há uma vazão de entrada. Apenas saída.

∑ F x = m �� s a í d a . u s a í d a

Sabemos que a velocidade na saída em x é u s a í d a = V =   2 g y . Além disso, a tração T é a única força atuando nesse eixo:

T = m ˙ s a í d a . V

Tá faltando encontrar essa vazão mássica. Para isso, podemos dizer que no fluido incompressível:

m ˙ s a í d a =   ρ . Q s a í d a

E a vazão volumétrica, por sua vez, é Q = V . A , então:

m ˙ s a í d a =   ρ . V . A s a í d a

A área de saída é a área do bocal circular de diâmetro d   =   15   m m . Convertendo para o sistema internacional: d   =   0,015   m

m ˙ s a í d a =   ρ V   π d 2 4 = 1000 .   V .   π .   ( 0,015 ) 2 4

m ˙ s a í d a =   0,1766   V

Voltando na equação do momento linear

T = m ˙ s a í d a . V   ⇒   T = 0,1766 . V 2  

Como   V =   2 g y

  T = 0,1766 × 2 g y ⇒   T = 3,46 y

O enunciado pede a Tração quando y   =   0,9   m , logo:

  T = 3,46 × 0,9 = 3,12   N

Resposta

T =   3,12   N

Exercício Resolvido #6

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 358, ex. 6.69

(Adaptada) Água escoa em regime permanente através de um cotovelo redutor, conforme mostrado. O cotovelo é liso e curto e o escoamento acelera, de modo que o efeito do atrito é pequeno. A vazão em volume é Q   =   2,5   L / s . O cotovelo está em um plano horizontal. Calcule a componente x da força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo de suprimento de água.

Dados: pressão manométrica na seção 1 é p 1 = 11,7   k P a .

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Passo 1

Vamos ao primeiro passo que é escolher o volume de controle (VC). Queremos saber a componente x da força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo, logo, o VC precisa passar pela conexão tubo-cotovelo.

Além disso, temos informações sobre a saída do cotovelo, então é interessante que o VC passe por lá.

O toque final é deixar esse volume de controle o mais simétrico possível. Com isso, olha só quem foi escolhido:

Passo 2

Hora de aplicar a equação da conservação do momento linear! O enunciado pede a componente x da força, então vamos analisar a equação na direção x, beleza?

Fazendo as hipóteses de escoamento permanente, fluido incompressível e propriedades uniformes, podemos usar essa equação:

∑ F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

Repara que u é a componente da velocidade em x. Na saída do cotovelo, a velocidade está somente no eixo y, logo u s a í d a = 0

∑ F x = - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

E qual seria a velocidade de entrada? O cotovelo está no plano horizontal e pela figura, podemos perceber que na entrada do VC: u e n t r a d a =   V 1