Equação da Quantidade de Movimento

Teoria Completa

Equação de Momento Linear

Imagine uma tubulação de água, será que quando a água escoa pela tubulação ela faz alguma força na tubulação?

Imagine que essa tubulação faz curvas, onde a tubulação faz curva há ação de forças?

Isso tudo quem vai nos responder é a quantidade de movimento, estudamos a conservação de quantidade de movimento em sólidos e agora vamos extender isso aos fluidos.

E para isso vamos usar o teorema de transporte de Reynolds.

d d t B s i s t e m a = d d t ∫ V C β ρ d V + ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Lembra que momento linear é P = m . v , então essa será nossa propriedade analizada. E β = d B d m → d m . v d m = v isso se a velocidade do escoamento for constante.

d d t m . v s i s t e m a = d d t ∫ V C v . ρ d V + ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Vamos analisar o primeiro termo: d d t m . v s i s t e m a

A massa do sistema é constante, assim temos m . d v d t , opaaa isso a gente já viu láaa no inicio da faculdade que é a aceleração:

  d d t m . v s i s t e m a = m . a

Que a segunda lei de Newton chama de força, assim

d d t m . v s i s t e m a = F s i s t e m a

∑ F s i s t e m a = d d t ∫ V C v . ρ d V + ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

O segundo termo irá ser zero sempre que tivermos um escoamento permanente, pois em um escoamento permante d ρ d t = 0 .

Assim, ficamos com:

∑ F s i s t e m a = ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Na teoria passada estudamos a propriedade da massa e lá chegamos no seguinte resultado:

m ˙ = ρ ∫ A v c o s θ . d A

Como estamos assumindo que a velocidade do nosso escoamento é constante, chegamos em:

∑ F = v . m ˙ s a í d a - v . m ˙ e n t r a d a

É essa equação que vamos usar para resolver todos nossos problemas.

Só que força é uma grandeza vetorial, assim o que vai acontecer é que iremos dividi-la de acordo com suas direções, assim ficando com três equações:

x →   ∑ F x = v x s a í d a . m ˙ s a í d a - v x e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

y →   ∑ F y = v y s a í d a . m ˙ s a í d a - v y e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

z →   ∑ F z = v z s a í d a . m ˙ s a í d a - v z e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

Moleza, certo?

Mas nem tudo são flores. Nesse sistema tem varias forças que vão poder atuar, mas uma muito conhecida e que vai aparecer frequentemente será a força de pressão.

Ou seja, não podemos esquecer de considerar a força causada por uma distribuição de pressão.

Essa força é calculada por:

∫ S C - p . c o s θ . d A

Caso, tenhamos uma pressão constante e perpendicular a superfície de controle podemos simplificar isso para

F p = ∫ S C - p d A = - p . A

Equação de Momento Angular

Estudamos o caso linear agora vamos estudar o caso angular. São bem parecido.

A nossa propriedade é o momento angular que é definido como B = ∫ r × v d m

Assim, β = d B d m = d d m ∫ r × v d m = r × v

d d t ∫ r × v d m s i s t e m a = d d t ∫ V C r × v ρ d V + ∫ S C r × v ρ v r c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ v r c o s θ   d A e n t r a d a

O primeiro termo é igual ao momento do sistema, assim:

∑ M = d d t ∫ V C r × v . ρ d V + ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Se o escoamento for permanente, temos:

∑ M = ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Vmaos usar a notação de fluxo de massa para deixar mais bonita:

∑ M = r × v s a í d a . m ˙ s a í d a - r × v e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

Essa teoria consiste em aplicar duas formulas, então vamos treinar aplicá-las fazendo alguns exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

O jato d’água da figura abaixo atinge a placa fixa na normal. Despreze a gravidade e o atrito e calcule a força F, em newtons, necessária para manter a placa fixa.

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Passo 1

Vamos começar escolhendo o volume de controle. Como estamos tratando de forças e a placa está sofrendo ação de forças ela deve ser englobada no nosso volume de controle, assim como o escoamento.

Sendo assim vamos escolher esse volume de controle:

Onde temos três superfícies em que o escoamento a atravessa perpendicularmente.

Como queremos a força F e ela atua somente na direção x , vamos montar a equação de momento apenas na direção x .

Como vimos na teoria, a equação será:

∑ F x = m ˙ c i m a . u c i m a + m ˙ b a i x o . u b a i x o - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

Onde u é a componente da velocidade do escoamento do fluido na direção x , sendo assim como o escoamento do fluido que vai para cima e para baixo não tem componente na direção x , temos que:

u c i m a   e   u b a i x o = 0

Assim a nossa equação fica assim:

- F = - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

Menos F porque a força está atuando na direção contraria ao eixo x .

O fluxo de massa a gente já viu que se velocidade e área são constantes, então:

m ˙ = ρ . v . A

Assim,

m ˙ e n t r a d a = ρ .   8 .   π . 0,1 2 4 = 0,02 π ρ

Sendo a densidade da água aproximadamente 998   k g / m 3

m ˙ e n t r a d a = 62,7   k g / s

Agora, voltando na equação da força temos:

F = 62,7 .   u e n t r a d a ≅ 501   N

Resposta

F ≅ 501   N

Exercício Resolvido #2

Na figura abaixo, a pá fixa desvia o jato d’água em uma meia-volta completa. Encontre uma expressão para a velocidade máxima do jato V 0 se a máxima força possível do suporte é F 0 .

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Passo 1

Qual é o primeiro passo??

Escolher o volume de controle, muito bem. É necessário que esse volume de controle englobe o escoamento e a pá. Assim uma boa opção é:

Passo 2

Beleza, agora o segundo passo é montar a equação de momento linear para o eixo desejado, que nesse caso é o eixo x .

∑ F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

O interessante nessa questão é você perceber que o fluxo de massa que entra é exatamente o mesmo que sai. Para isso é necessária que área de entrada e saída seja a mesma e isso confere D 0 .

Além disso, é preciso ter a velocidade igual, o que também confere, V 0 . Na vazão o sentido não importa, apenas o módulo da velocidade.

Assim, temos:

- F = m ˙ ( u s a í d a - u e n t r a d a )

Agora sim, o sentido da velocidade importa, como adotamos o sentido positivo para a direita temos que a velocidade de saída é negativa.

- F = m ˙ - V 0 - V 0 = - 2 m ˙ V 0  

Agora vamos abrir a vazão mássica. m ˙ = ρ . V 0 . π . D 0 2 4

F = 2 m ˙ V 0 = 1 2 ρ . π . V 0 2 . D 0 2  

O que a gente quer é a velocidade V 0 , sabendo que a força aplicada é F 0 , então temos:

F 0 = 1 2 ρ . π . V 0 2 . D 0 2

Isolando a velocidade:

V 0 = 2 F 0 ρ π D 0 2

Resposta

V 0 = 2 F 0 ρ π D 0 2

Exercício Resolvido #3

Calcule a força requerida para manter o tampão fixo na saída do tubo de água. A vazão é 1,5   m 3 / s