Balanço Diferencial de Massa

Teoria Completa

A gente viu no balanço integral de massa como que a gente pode fazer pra calcular, por exemplo, a concentração média de um sistema depois de um tempo t . Mas e se agora a gente quiser saber essa mesma concentração, mas especificamente em um espacinho dentro do nosso volume de controle?

Bom, pra isso a gente precisa de um balanço diferencial, que vai avaliar as propriedade pra cada dx e dy hahaha.

Vamos ver como fazer isso?

Construindo o Balanço de Massa

Vamos começar olhando então o que seria um volume de controle diferencial:

Imagina que esse ∆ x , ∆ y e ∆ z sejam beeeem pequenininhos.

Vamos analisar dx!

A taxa de fluido que passa por dx é o fluxo de massa em x, N A , x , vezes a área ∆ y ∆ z (porque taxa = fluxo x área, lembra?). Maaas, não necessariamente tudo que entra por esse ∆ x sai desse ∆ x ! Então, a gente diz que a taxa líquida vai ser:

N A , x + ∆ x ∆ y ∆ z - N A , x ( ∆ y ∆ z )

Isso só em relação a x, essa mesma taxa pode ser calculada em relação à ∆ y e ∆ z .

Beleza, mas se o que entra for maior do que o que sai, eu vou ter alguma coisa e acumulando ali, certo? Certo!

No balanço integral a gente representou dessa forma:

d d t ∫ V c A ( t ) ρ A d V

Aqui no diferencial, a gente vai considerar o volume de controle constante, porque esse espacinho que estamos analisando não vai mudar. E além disso, como nosso volume de controle é muito pequeno, podemos considerar a concentração mássica constante também em todo o espaço. Dai nosso termo fica assim:

d ρ A d t ( ∆ x ∆ y ∆ z )

Beleza, agora a única coisa que falta a gente considerar, que nem a gente fez no balanço integral é quando está acontecendo alguma reação no nosso volume de controle.

- r A ( ∆ x ∆ y ∆ z )

Obs.: Esse sinal vai depender se A é reagente ou produto! Considerando A reagente, ele vai ser consumido ao longo do tempo, logo o sinal é negativo!

Vale lembrar que, assim como no balanço integral, as unidades de todos os termos ficam como massa por unidade de tempo.

Enfim o nosso balanço em relação à x:

N A , x + ∆ x ∆ y ∆ z - N A , x ∆ y ∆ z + d ρ A d t ∆ x ∆ y + r A ∆ x ∆ y ∆ z = 0

Dividindo tudo pelo volume ( ∆ x ∆ y ∆ z ):

N A , x + ∆ x - N A , x ∆ x + d ρ A d t - r A = 0

Mas esse primeiro termo ai ainda dá pra mexer um pouco nele, fazendo o limite com ∆ x tendendo a zero, a gente tem justamente a derivada de N A em relação a x!

Finalmente, pra você guardar no coração:

∇ N A + d ρ A d t - r A = 0

Lembrando que:

∇ N A = ∂ N A ∂ x + ∂ N A ∂ y + ∂ N A ∂ z

Outros jeitos de usar esse balanço

Bom, a gente acabou de ver o nosso balanço diferencial mássico, mas e se no problema os dados que eu tiver estiverem em função de molaridade?

Reescrevendo nosso balanço em termos molares:

∇ N A M + d C A d t   - r A M = 0

O índice M é para indicar que as unidades estão em função de mol.

Se a gente lembrar também das correlações que vimos nos fundamentos da transferência de massa, esse balanço pode ter várias outras caras:

∇ N A + ρ d w A d t - r A = 0

∇ ( ρ A . v A ) + d ρ A d t - r A = 0

∇ ρ A . v + j A + d ρ A d t - r A = 0

Sabendo também que j A =   - D A B ∇ ρ A

d ρ A d t + ∇ ρ A . v - D A B ∇ ρ A - r A = 0

Se D A B for constante:

d ρ A d t + ∇ ρ A . v = D A B ∇ ² ρ A + r A

E para um sistema binário?

Para um sistema binário nós podemos somar esse mesmo balanço para o componente A, com um similar para o componente B!

∇ N A + N B + ∂ ( ρ A + ρ B ) ∂ t - r A + r B = 0

∇ ρ . v + ∂ ρ ∂ t - r A + r B = 0

Em termos molares:

∇ C . v M + ∂ C ∂ t - r A M + r B M = 0

E em outras coordenadas?

Nem sempre a difusão vai estar acontecendo em coordenadas cartesianas x, y e z. Vamos ver como fica a expressão pra coordenadas cilíndricas e esféricas:

  • Em coordenadas cilíndricas:
  • ∇ N A = 1 r ∂ ( r N A , r ) ∂ r + 1 r ∂ N A , θ ∂ θ + ∂ N A , z ∂ z

  • Em coordenadas esféricas:

∇ N A = 1 r ² ∂ ( r ² N A , r ) ∂ r + 1 r s e n θ ∂ ( s e n θ N A , θ ) ∂ θ + 1 r s e n θ ∂ N A , φ ∂ φ

Caaaalma gafanhoto, agora a gente vai ver como que a gente pode simplificar isso ai:

Vamos pegar a versão completa

d ρ A d t + ∇ ρ A v = D A B ∇ ² ρ A + r A

E fazer nossas hipóteses:

  1. Fluido incompressível ( ρ = c o n s t a n t e ) e com D A B constante também:
  2. ∂ ρ A ∂ t + v ∇ ρ A = D A B ∇ 2 ρ A + r A

    Essa simplificação vem lá do balanço global. E esse lado esquerdo todo da equação é o que a gente chama de derivada material. Dai a expressão fica com essa cara:

    D ρ A D t = D A B ∇ 2 ρ A + r A

  3. Sem reação química ( r A = 0 ):
  4. D ρ A D t = D A B ∇ 2 ρ A

    Essa expressão se assemelha àquela de transcal D T D t = α ∇ ² T . É o que a gente chama de 2ª lei de Fick da difusão.

  5. Sem escoamento, o fluido não está em movimento:
  6. ∂ ρ A ∂ t = D A B ∇ 2 ρ A + r A

    Essa é a equação da difusão transiente que a gente vai ver mais pra frente!

  7. Estado estacionário ∂ ρ A ∂ t = 0 :

v ∇ ρ A = D A B ∇ 2 ρ A + r A

Sem reação:

v ∇ ρ A = D A B ∇ 2 ρ A

Sem escoamento:

∇ 2 ρ A = 0

Esse último chamamos de difusão pura.

Ufa, acabou! Agora bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Enuncie o balanço de massa diferencial para um sistema com 3 componentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O balanço diferencial pra um componente tem essa cara:

∇ N A + d ρ A d t - r A = 0

Considerando 3 componentes ele fica:

∇ ( N A + N B + N C ) + d ( ρ A + ρ B + ρ C ) d t - ( r A + r B + r C ) = 0

Resposta

∇ ( N A + N B + N C ) + d ( ρ A + ρ B + ρ C ) d t - ( r A + r B + r C ) = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Usando o balanço diferencial de massa na sua versão explicidada d ρ A d t + ∇ ρ A v = D A B ∇ 2 ρ A + r A

Mostre quais são as possíveis simplificações para essa equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Analisando cada termo da equação completa:

d ρ A d t + ∇ ρ A v = D A B ∇ 2 ρ A + r A

  1. Sem reação: d ρ A d t + ∇ ρ A v = D A B ∇ ² ρ A
  2. Sem escoamento: d ρ A d t = D A B ∇ ² ρ A + r A
  3. Estado estacionário: ∇ ρ A v = D A B ∇ ² ρ A + r A

Resposta

  1. d ρ A d t + ∇ ρ A v = D A B ∇ ² ρ A
  2. d ρ A d t = D A B ∇ ² ρ A + r A
  3. ∇ ρ A v = D A B ∇ ² ρ A + r A

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Mostre o termo espacial do balanço diferencial nas seguintes coordenadas:

  1. Cartesianas
  2. Cilíndricas
  3. Esféricas
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O balanço diferencial é composto de um termo espacial, um termo temporal e um termo de reação: ∇ N A + d ρ A d t - r A = 0

O termo espacial é o gradiente de N A , que descreve o fluxo em todo espaço. Explicitando suas coordenadas temos:

  1. Cartesianas ∇ N A = ∂ N A ∂ x + ∂ N A ∂ y + ∂ N A ∂ z
  2. Cilíndricas ∇ N A = 1 r ∂ ( r N A , r ) ∂ r + 1 r ∂ N A , θ ∂ θ + ∂ N A , z ∂ z
  3. Esféricas ∇ N A = 1 r ² ∂ ( r ² N A , r ) ∂ r + 1 r s e n θ ∂ ( s e n θ N A , θ ) ∂ θ + 1 r s e n θ ∂ N A , φ ∂ φ

Resposta

  1. ∇ N A = ∂ N A ∂ x + ∂ N A ∂ y + ∂ N A ∂ z
  2. ∇ N A = 1 r ∂ ( r N A , r ) ∂ r + 1 r ∂ N A , θ ∂ θ + ∂ N A , z ∂ z
  3. ∇ N A = 1 r ² ∂ ( r ² N A , r ) ∂ r + 1 r s e n θ ∂ ( s e n θ N A , θ ) ∂ θ + 1 r s e n θ ∂ N A , φ ∂ φ

Exercício Resolvido #4

Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L. (2008), Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 5th edition, John Wiley & Sons, New Jersey, chapter 24 (Adaptado)

O desenho a seguir ilustra a difusão de gás dentro da vizinhança de uma superfície catalítica lisa. Gases quentes de hidrocarbonetos pesados difundem para a superfície catalítica onde eles são craqueados em componentes mais leves pela reação: H → 2 L , os produtos leves difundem de volta para a corrente de gás.

  1. Reduza a equação diferencial deral de transferência de massa para a reação específica que descreve esse processo no estado estacionário. Liste as hipóteses assumidas para fazer as simplificações.
  2. Determine a relação da Lei de Fick em termos do componente H e insira isso na equação diferencial obtida na letra (a).
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver então a letra a, que ele pede a equação simplificada!

Temos que:

∇ N A + d C A d t   - r A = 0