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Condições de Contorno

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Teoria

Quando estamos resolvendo problemas de transferência de massa, eventualmente a gente esbarra com aquelas famosas EDO’s e EDP’s pra resolver. E pra isso a gente precisa de condições de início ou condições de contorno.

Mas relaaaxa, você vai ver agora como e quando usar cada uma delas!

Problemas Transientes

Quando seu problema se passa ao longo do tempo, ou seja,ou você quer descobrir o tempo que passou ou qual é a concentração depois de um tempo t , uma das condições que pode ser usada é a condição de início. Ela tem essa cara aqui:

t = t 0 = 0 ρ A = ρ A 0   ( u n i d a d e   m á s s i c a ) C A = C A 0   ( u n i d a d e   m o l a r )

Em outras palavras, quando o tempo é igual à zero, a concentração é igual à concentração inicial.

Condição de Contorno Espaciais

Não precisa ser astronauta pra resolver isso aqui não. Vamos ver agora as condições de contorno relativas ao espaço físico em que o problema está acontecendo!

  1. Valor Especificado na Superfície:
  2. Quando uma superfície se encontra saturada, significa que ela não tem mais como receber mais nada, assim ela está na condição de doar massa daquela espécie.

    ρ A = ρ A S C A = C A S w A = w A S   ( f r a ç ã o   m á s s i c a )

    x A = x A S   ( f r a ç ã o   m o l a r   p a r a   l í q u i d o s )

    y A = y A s   ( f r a ç ã o   m o l a r �� p a r a   g a s e s )

    Além de todas essas formas de representar a condição de uma superfície, quando falamos de gases, também é possível representar a concentração em termos da pressão parcial usando a Lei de Dalton:

    p A s = y A s P

    Onde P é a pressão total do sistema.

    Quando a difusão acontece de uma fase líquida para uma fase gasosa, a gente usa a Lei de Raouult, pra solução líquida ideal:

    p A S = x A P A V

    Onde P A V é a pressão de vapor da espécie A.

  3. Fluxo Especificado na Superfície:
  4. Podemos ter um fluxo de massa constante na superfície.

    J A S =   - D A B d C A d x | x = 0 = c t e

    Um caso específico de fluxo constante é quando a superfície é impermeável. Ai nesse caso não tem fluxo na superfície!

    J A S =   - D A B d C A d x | x = 0 = 0

  5. Convecção na Superfície:
  6. Pensa, por exemplo, num copo com água e uma pastilha no fundo. Os componentes da pastilha se transportam pelo copo através de difusão. Agora imagina que na sala onde está esse copo tem um ventilador ligado. Quando a superfície do copo chega a uma condição de saturação, como a gente falou lá em cima, não tem mais como essa superfície receber mais massa desses componentes, nessa hora os componentes são perdidos pela convecção do ar que está em movimento em contato coma superfície desse copo.

    Nesse caso, a condição limite da superfície é a de convecção, e ela vai ter essa carinha aqui:

    N A S = h m C A S - C A ∞

    Onde h m é o coeficiente de convecção mássica e C A ∞ é a concentração na corrente de fluido exerno.

    Obs.: A convecção mássica é muito parecida com a convecção térmica, só muda é que ao invés de usarmos os termos relacionados à temperatura, usamos para concentração.

  7. Reação Química na Superfície:

Se a superfície for um catalisador, um metal sofrendo corrosão, ou qualquer outra situação onde as moléculas aparecem ou desaparecem na superfície de acordo com uma reação química.

N A S = k 1 C A S

Onde k 1 é a constante da taxa de reação de 1ª ordem.

Os fluxos molares das espécies se relacionam pela estequiometria. Por exemplo:

A + 2 B → C N A N B = 1   m o l 2   m o l s

N B = 2 N A

Se a reação for muito rápida e A   for reagente, a gente pode considerar C A s u p = 0 .

Esses são os principais casos que vamos ver na transferência de massa, bora então praticar!

Condição de Contorno Espaciais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Gás hélio está armazenado a 20 ° C em um vaso esférico feito com sílica fundida ( S i C O 2 ), que tem um diâmetro de 0,20   m e uma espessura de parede de 2   m m . Se o vaso é carregado até uma pressão inicial de 4   b a r , qual é a taxa na qual essa pressão diminui com o tempo?

Dados para Hélio-Sílica fundida a 20 ° C : D A B = 0,4 ⋅ 10 - 13   m 2 / s e S A B = 0,45 ⋅ 10 - 3   k m o l / m 3 ⋅ b a r .

Passo 1

Fala aí! Vamos começar anotando nossos dados! Temos uma parede com:

L = 2   m m → 0,002   m

E um vaso esférico com:

D = 0,20   m p A = 4   b a r T = 20 ° C → 293   K

Ela está entre dois meios que tem hidrogênio, e cada lado possui:

p A ,   1 = 3   b a r p A ,   2 = 1   b a r

O enunciado quer a taxa em que a pressão vai diminuir com o tempo d p A d t , ok?

Antes de ir para a diversão dos cálculos, vamos fazer algumas considerações importantes para nos facilitar, beleza?

Como o diâmetro é muito maior que a espessura vamos considerar que estamos trabalhando com uma parede plana, com difusão em uma única direção. Além disso, vamos considerar um regime estacionário, com o hélio se comportando como gás ideal e que a pressão do hélio no ar exterior será desprezível… Isso vai nos ajudar bastante!

Passo 2

Vamos lembrar que, pela conservação das espécies:

M A ,   a c u m u l a d a =   - M A ,   s a i

E que, por causa da difusão através da sílica:

M A ,   s a i = n A ,   x " ⋅ A

E o acúmulo de massa é dado por:

M A ,   a c u m u l a d a = d M A d t = d ρ A V d t

Opa! Então nosso balanço será:

d ρ A V d t =   - n A ,   x " ⋅ A

Sendo ρ A = M A ⋅ C A e usando a lei dos gases ideais, podemos ter que:

C A = p A ℜ ⋅ T

Então:

ρ A = M A ⋅ p A ℜ ⋅ T

Opa! Substituindo isso em nosso balanço, teremos:

d M A ⋅ p A ⋅ V ℜ ⋅ T d t =   - n A ,   x " ⋅ A

Reorganizando para ficar apenas com a taxa de pressão com o tempo, vamos ficar com:

d p A d t =   - ℜ ⋅ T M A ⋅ V ⋅ n A ,   x " ⋅ A

Passo 3

Chegou a hora de lembrar da lei de Fick, para ter a seguinte relação:

n A ,   x " =   - D A B ⋅ d ρ A d x

Isso quer dizer, nas nossas condições, que:

n A ,   x " = D A B ⋅ ρ A ,   1   -   ρ A ,   2 L

Para achar ρ A ,   1 e ρ A ,   2 vamos usar a massa molar e a solubilidade, olha só:

ρ A ,   1 = M A ⋅ S ⋅ p A ρ A ,   2 = M A ⋅ S ⋅ p A 0 = 0

Agora substituindo isso na nossa relação ali de cima, temos:

n A ,   x " = D A B ⋅ M A ⋅ S ⋅ p A L

Agora a gente pode substituir isso aí lá no nosso balanço e ficar com:

d p A d t =   - ℜ ⋅ T M A ⋅ V ⋅ D A B ⋅ M A ⋅ S ⋅ p A L ⋅ A

Passo 4

Sendo a área e o volume, dados por:

A = π ⋅ D 2 V = π ⋅ D 3 6

Nosso balanço vai ficar:

d p A d t =   - ℜ ⋅ T M A ⋅ π ⋅ D 3 6 ⋅ D A B ⋅ M A ⋅ S ⋅ p A L ⋅ π ⋅ D 2

Arrumando isso aí e cortando quem a gente pode, vamos ter:

d p A d t =   - 6 ⋅ ℜ ⋅ T ⋅ D A B ⋅ S ⋅ p A L ⋅ D

Usando como constante dos gases ℜ = 0,08314   m 3 ⋅ b a r / k m o l ⋅ K , e substituindo os nossos dados, temos:

d p A d t =   - 6 ⋅ 0,08314 ⋅ 293 ⋅ 0,4 ⋅ 10 - 13 ⋅ 0,45 ⋅ 10 - 3 ⋅ 4 0,002 ⋅ 0,2

Logo, a taxa de variação da pressão será:

d p A d t =   - 2,63 ⋅ 10 - 8   b a r / s

Show de bola! Terminamos!

Resposta

d p A d t =   - 2,63 ⋅ 10 - 8   b a r / s

Exercício Resolvido #2

Calcular os dados de equilíbrio sob a forma y versus x para o sistema m-xileno / o-xileno à pressão total de 0,4   a t m ( x A e y A são as frações molares de m-xileno na fase líquida e na fase vapor respectivamente). São dadas as pressões de vapor dos componentes em atm na tabela a seguir:

Passo 1

Bom, vamos começar lembrando da nossa teoria e anotando o seguinte:

Para o m-xileno: x A ⋅ P A V = y A ⋅ P

Para o o-xileno: x B ⋅ P B V = y B ⋅ P

Opa! Então a gente tem que:

1 - x A ⋅ P B V = 1 - y A ⋅ P

E se a gente somar essa relação com a do m-xileno, teremos:

P = x A ⋅ P A V + 1 - x A ⋅ P B V

P = x A ⋅ P A V + P B V - x A ⋅ P B V

P - P B V = x A ⋅ P A V - P B V

Então nosso x A será:

x A = P - P B V P A V - P B V

E sendo assim, o nosso y A tem que ser:

y A = x A ⋅ P A V P

Olha só que show! Já podemos encontrar o x A e o y A , para cada caso da nossa tabela, né?

Mas e as frações de B? Relaxa! Agora vai ser de boa! A soma das frações tem que ser 100 % , certo? Então, temos que:

x B = 1 - x A y B = 1 - y A

Show de bola! Achando um encontramos o outro!

Passo 2

Agora é a hora das continhas, vamos fazer primeiro para o A, ok?

Agora vamos fazer as continhas para o B:

Show de bola!

Resposta

Exercício Resolvido #3

Dez metros cúbicos de uma solução de cloreto de sódio N a C l   -   2 M são misturados com 15   m 3 de uma solução de sulfato de amônio N H 4 2 S O 4   -   1 M . Supondo constantes e iguais as massas específicas das duas soluções e da solução resultante, obtenha as concentrações em g / L dos íons cloreto ( C l   - ) e amônio ( N H 4   + ) na solução resultante.

Passo 1

Pelo balanço de massa, nosso velho conhecido, sabemos que:

m f i n a l = m i n i c i a l

Tranquilo? Bom, nós temos uma solução de N a C l , que vamos chamar de solução 1 , temos uma solução de N H 4 2 S O 4 , que vamos chamar de solução 2 , e temos a solução que resulta da mistura, que vamos chamar de solução 3 , certo?

Então, nós temos o seguinte:

m 1 + m 2 = m 3

E lembrando que m = ρ ⋅ V , temos:

ρ 1 ⋅ V 1 + ρ 2 ⋅ V 2 = ρ 3 ⋅ V 3

Mas o enunciado pediu pra gente considerar que as massas específicas são iguais ρ 1 = ρ 2 = ρ 3 , logo:

V 1 + V 2 = V 3

E os volumes de V 1 e de V 2 foram dados, então:

V 3 = 10 + 15

V 3 = 25   m 3

Passo 2

A gente pode supor que os sais estão se dissociando totalmente, então teremos o seguinte:

m C l f i n a l   - = m C l i n i c i a l   - m N H 4   + f i n a l = m N H 4   + i n i c i a l

Opa! Sabemos o volume das soluções, então podemos fazer o seguinte para encontrar as concentrações, primeiro para o N a C l :

C C l   - s o l u ç ã o   3 ⋅ V 3 = C C l   - s o l u ç ã o   1 ⋅ V 1

Lembrando que a concentração foi pedida em g / L vamos converter o valor que o enunciado nos deu usando a massa molar do C l   - , olha só:

C C l   - s o l u ç ã o   1 = 2   m o l L ⋅ 35,5   g m o l

C C l   - s o l u ç ã o   1 = 71   g / L

E convertendo o volume para litro, teremos:

V 3 = 25   m 3 ⋅ 1000   L 1   m 3 = 25000   L V 1 = 10   m 3 ⋅ 1000   L 1   m 3 = 10000   L

Substituindo tudo isso, vamos ter uma concentração de C l - ,na solução:

C C l   - s o l u ç ã o   3 = 71 ⋅ 10000 25000

Teremos então:

C C l   - s o l u ç ã o   3 = 28,4   g / L

Agora vamos fazer a mesma coisa para o N H 4 2 S O 4 :

C N H 4   + s o l u ç ã o   3 ⋅ V 3 = C N H 4   + s o l u ç ã o   2 ⋅ V 2

Fazendo a mesma conversão, agora usando a massa molar do N H 4   + , temos:

C N H 4   + s o l u ç ã o   1 = 1   m o l   d e   N H 4 2 S O 4   L ⋅ 2   m o l s   d e   N H 4   + 1   m o l   d e   N H 4 2 S O 4 ⋅ 18   g   d e   N H 4   + m o l   d e   N H 4   +

C N H 4   + s o l u ç ã o   1 = 36   g / L

Convertendo o volume para litro, teremos:

V 2 = 15   m 3 ⋅ 1000   L 1   m 3 = 15000   L

Substituindo tudo temos:

C N H 4   + s o l u ç ã o   3 = 36 ⋅ 15000 25000

Teremos então uma concentração de N H 4   + de:

C N H 4   + s o l u ç ã o   3 = 21,6   g / L

Prontinho!

Resposta

C C l   - s o l u ç ã o   3 = 28,4   g / L C N H 4   + s o l u ç ã o   3 = 21,6   g / L

Exercício Resolvido #4

No processo de fabricação de etanol, o mosto de fermentação é preparado a partir da diluição de melaço (mel final) com água ou com caldo de cana. As massas específicas e as concentrações em grau Brix desses fluidos são apresentadas na tabela a seguir. Grau Brix representa a porcentagem em massa de sólidos solúveis contida em soluções aquosas de açúcares ou fração mássica ( x i ). É uma medida indireta do teor de açúcares em soluções, uma vez que a maioria dos sólidos solúveis nesses fluidos são açúcares.

Supondo que a vazão de mosto que alimenta uma dorna de fermentação seja de 80   m 3 / h e que o mesmo deva ter uma concentração de 20 °   B r i x . Calcular as vazões de melaço e de água e de melaço e de caldo de cana, dependo do tipo da diluição (com água ou caldo) e as respectivas massas específicas dos mostos ρ M , supondo que a massa específica da mistura ρ _ seja dada por:

O fluxograma do processo de diluição com água ou caldo de cana (corrente 2) é ilustrado na Figura:

Passo 1

Fala aí! Olha esse enunciado cheio de informação…

Relaxa! O que ele quer é que a gente encontre as vazões de melaço-água e melaço-cana, vamos nessa então!

Bom estamos trabalhando com um processo contínuo e estacionário, né? Pelo balanço de massa a gente vai ter que:

m f i n a l = m i n i c i a l

Sendo assim, temos que:

m 1 + m 2 = m 3

E lembrando que m = ρ ⋅ V :

ρ 1 ⋅ V 1 + ρ 2 ⋅ V 2 = ρ 3 ⋅ V 3

Beleza? Agora vamos pensar primeiro na diluição da água:

ρ 3 ⋅ 80 = 1400 ⋅ V 1 + 1000 ⋅ V 2

ρ 3 = 1400 ⋅ V 1 + 1000 ⋅ V 2 80

Humm… Não temos as duas vazões e nem o ρ 3 , mas e se a gente fizer o balanço para os sólidos? Vamos ver se encontramos alguma coisinha que nos ajude!

m S 3 = m S 1

x S 3 ⋅ m S 3 = x S 1 ⋅ m S 1

Vamos ter então:

x S 3 ⋅ ρ 3 ⋅ V 3 = x S 1 ⋅ ρ 1 ⋅ V 1

Substituindo nossos dados, teremos:

20 100 ⋅ ρ 3 ⋅ 80 = 58 100 ⋅ 1400 ⋅ V 1

Opa! Então descobrimos que:

ρ 3 = 50,75 ⋅ V 1

Agora substituindo o ρ 3 lá na outra equação, vamos ter:

50,75 ⋅ V 1 = 1400 ⋅ V 1 + 1000 ⋅ V 2 80

Daí nós conseguimos tirar uma relação de V 2 com V 1 , ficando com:

V 2 = 2,66 ⋅ V 1

Passo 2

Lembrando que:

ρ 3 = m 1   +   m 2 V 1   +   V 2 ρ 3 = ρ 1 ⋅ V 1   +   ρ 2 ⋅ V 2 V 1   +   V 2

Substituindo os valores que temos nessa relação, podemos encontrar o ρ 3 :

ρ 3 = 1400 ⋅ V 1   +   1000 ⋅ 2,66 ⋅ V 1 V 1   +   2,66 ⋅ V 1

ρ 3 = 1109,3   k g / m 3

Show! Agora podemos encontrar o V 1 e o V 2 , olha só:

1109,3 = 50,75 ⋅ V 1

V 1 = 21,9   m 3 / h

Então o V 2 , será:

V 2 = 2,66 ⋅ 21,9

V 2 = 58,3   m 3 / h

Agora vamos repetir o mesmo procedimento para a diluição do caldo de cana, beleza?

Passo 3

Para o caldo teremos:

ρ 3 ⋅ 80 = 1400 ⋅ V 1 + 1080 ⋅ V 2

ρ 3 = 1400 ⋅ V 1 + 1080 ⋅ V 2 80

Fazendo o balanço para os sólidos, temos:

m S 3 = m S 1 + m S 2

x S 3 ⋅ m S 3 = x S 1 ⋅ m S 1 + x S 2 ⋅ m S 2

Então:

x S 3 ⋅ ρ 3 ⋅ V 3 = x S 1 ⋅ ρ 1 ⋅ V 1 + x S 2 ⋅ ρ 2 ⋅ V 2

Substituindo nossos dados:

20 100 ⋅ ρ 3 ⋅ 80 = 58 100 ⋅ 1400 ⋅ V 1 + 14 100 ⋅ 1080 ⋅ V 2