Enunciado

Óleo de motor a 100 ° C e a uma velocidade de 0,1   m / s escoa sobre as duas superfícies de uma placa plana com 1   m de comprimento mantida a 20 ° C . Determine:

(a) As espessuras das camadas-limite de velocidade e térmica na aresta de saída da placa.

(b) O fluxo térmico local e a tensão de cisalhamento na superfície local na aresta de saída da placa.

(c) A força de arrasto e a taxa de transferência de calor totais, por unidade de largura da placa.

(d) Represente graficamente as espessuras das camadas-limite e os valores locais da tensão de cisalhamento na superfície, do coeficiente convectivo e do fluxo térmico como uma função de 0 ≤ x ≤ 1   m .

Passo 1

Temos óleo escoando com uma temperatura T ∞ = 100 ° C e velocidade v = 0,1   m / s sobre uma placa de comprimento x = 1   m e temperatura T s = 20 ° C . O item (a) nos pede para determinar as espessuras das camadas limites térmica e de velocidade ao final da placa.

Para isso, vamos começar calculando a temperatura de filme. Ela é dada por:

T f = T s + T ∞ 2

T f = 100 + 20 2 = 120 2

T f = 60 ° C = 333   K

Nesta temperatura as propriedades do óleo são (Tabela A-5, apêndice A):

ϑ = 86,13 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 1081,4

k = 0,1404   W / m K

ρ = 864,03   k g / m 3

O próximo passo é calcular o número de Reynolds para verificar se o escoamento é laminar ou turbulento. Ele é dado por:

R e x = v x ϑ

R e x = 0,1 × 1 86,13 × 10 - 6

R e x = 1.161

Para escoamento paralelo à placa: R e x < 5 × 10 5 representa um escoamento em regime laminar. A partir das propriedades do óleo podemos utilizar as relações de espessura de camada limite em regime laminar. Começando pela de velocidade:

δ = 5 x R e x 1 / 2

δ = 5 × 1 1.161 1 / 2

δ = 0,147   m

Para a camada limite térmica:

δ T = δ P r 1 3

δ T = 0,147 1081,4 1 / 3

δ T = 0,0143   m

Passo 2

Para o item (b) precisamos encontrar o fluxo térmico local ao fim da placa. Para isso, vamos começar calculando o coeficiente convectivo para escoamento paralelo a uma placa, em regime laminar:

h x = k x 0,332 R e x 1 / 2 P r 1 / 3

h x = 0,1404 1 × 0,332 × 1.161 1 / 2 × 1081,4 1 / 3

h x = 16,3   W / m 2 K

A partir do coeficiente podemos calcular o fluxo de transferência de calor por convecção:

q c o n v , x ' ' = h x ( T s - T ∞ )

q c o n v , x ' ' = 16,3 × ( 20 - 100 )

q c o n v , x ' ' = - 1.304,2   W / m 2

Ainda no item (b) devemos determinar a tensão de cisalhamento na aresta de saída da placa. Para isso, vamos aplicar a relação:

τ s , L = ρ v 2 2 0,664 R e x - 1 / 2

τ s , L = 864,03 × 0,1 2 2 × 0,664 × 1.161 - 1 / 2

τ s , L = 0,0842   N / m 2

Passo 3

Para o item (c) devemos determinar a força de arrasto e a taxa de transferência de calor por convecção, por largura da placa.

Vamos começar relembrando que:

τ - s , L = F D A s

τ - s , L = F D ( 2 L × l a r g u r a )

τ - s , L × 2 L = F D l a r g u r a

Para regime laminar:

τ - s , L = 2 × τ s , L

Então:

F D l a r g u r a = 2 × 0,0842   × 2 × L

F D l a r g u r a = 0,337   N / m

Vamos agora para a taxa de convecção:

q c o n v A s = h - ( T s - T ∞ )

Para regime laminar:

h - = 2 h x

Então:

q c o n v ( 2 L × l a r g u r a ) = 2 h x ( T s - T ∞ )

q c o n v l a r g u r a = - 5.216   W / m

Passo 4

Vamos agora para o item (d). Devemos graficar as espessuras das camadas limites de velocidade e térmica, além do coeficiente convectivo, a tensão de cisalhamento e o fluxo térmico para vários valores de x , dentro do comprimento da placa.

Como primeiro passo, vamos escrever todas essas propriedades em função de x . Então:

δ = 5 x R e 1 / 2

δ = 5 x v x ϑ 1 / 2

δ = 5 ϑ v 1 / 2 x 1 / 2

E para espessura da camada limite térmica

δ T = δ P r 1 3

δ T = 5 ϑ v 1 / 2 P r 1 3 x 1 / 2

O próximo é o coeficiente convectivo local:

h x = k x 0,332 R e x 1 / 2 P r 1 / 3

h x = k x 0,332 v x ϑ 1 / 2 P r 1 / 3

h x = 0,332 k v ϑ 1 / 2 P r 1 / 3 x - 1 / 2

A tensão de cisalhamento local será:

τ s , L = ρ v 2 2 0,664 R e x - 1 / 2

τ s , L = ρ v 2 2 0,664 v x ϑ - 1 / 2

τ s , L = ρ v 2 2 0,664 v ϑ - 1 / 2 x - 1 / 2

Por fim, o fluxo de calor por convecção:

q c o n v , x ' ' = h x ( T s - T ∞ )

q c o n v , x ' ' = ( T s - T ∞ ) 0,332 k ϑ v 1 / 2 P r 1 / 3 x - 1 / 2

Com auxílio de Excel, ou outra ferramenta gráfica, podemos plotar o gráfico de cada uma dessas funções, para diversos valores de x dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1   m . Devemos obter algo da forma:

Resposta

(a) δ = 0,147   m

δ T = 0,0143   m .

(b) q c o n v , x ' ' = - 1.304,2   W / m 2

τ s , L = 0,0842   N / m 2 .

(c) F D l a r g u r a = 0,337   N / m

q c o n v l a r g u r a = - 5.216   W / m .

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