Enunciado

Seja o escoamento paralelo e em regime estacionário de ar atmosférico sobre uma placa plana. O ar possui uma temperatura e uma velocidade na corrente de livre de 300   K e 25   m / s .

(a) Calcule a espessura da camada-limite a distâncias de x = 1 ; 10 e 100   m m da aresta frontal da placa. Se uma segunda placa for instalada paralelamente e a uma distância de 3   m m da primeira placa, qual é a distância da aresta frontal na qual irá ocorrer a fusão das camadas-limite das duas placas?

(b) Calcule a tensão de cisalhamento superficial e o componente da velocidade na direção y na fronteira externa da camada-limite, para uma única placa, em x = 1 ; 10 e 100   m m .

(c) Comente sobre a validade das aproximações de camada-limite.

Passo 1

O item (a) nos pede para determinar a espessura da camada limite para três diferentes distâncias de x = 1 ; 10 e 100   m m . Para isso, nosso primeiro passo será calcular o número de Reynolds para este escoamento:

R e x = v x ϑ

Pela tabela A-4 do apêndice A:

ϑ 300   K = 15,89 × 10 - 6   m 2 / s

Então:

R e x = 25 × 100 × 10 - 3 15,89 × 10 - 6

R e x = 1,573 × 10 5

Como R e x < 5 × 10 5 , o regime é laminar. Para regime laminar a espessura da camada limite é:

δ = 5 x R e 1 / 2

Portanto, para x = 1   m m :

δ = 5 × 1 × 10 - 3 25 × 1 × 10 - 3 15,89 × 10 - 6 1 / 2

δ = 1,26 × 10 - 4   m

x = 10   m m :

δ = 5 × 1 0 × 10 - 3 25 × 1 0 × 10 - 3 15,89 × 10 - 6 1 / 2

δ = 4 × 10 - 4   m

x = 10 0   m m :

δ = 5 × 10 0 × 10 - 3 25 × 10 0 × 10 - 3 15,89 × 10 - 6 1 / 2

δ = 1,26 × 10 - 3   m

Ainda no item (a), colocamos uma nova placa 3   m m acima da anterior. Devemos ver qual é a distância x em que as camadas limites das placas inferior e superior se encontram.

Assumindo que as espessuras das camadas limites crescem igualmente com a distância x , elas devem se encontrar no meio da distância entre as placas. Ou seja, δ = 1,5   m m . Aplicando na equação:

δ = 5 x R e 1 / 2

1,5 × 10 - 3 = 5 x v x ϑ 1 / 2

x 1 / 2 = 1,5 × 10 - 3 × v ϑ 1 / 2 5

x 1 / 2 = 1,5 × 10 - 3 × 25 15,89 × 10 - 6 1 / 2 5

x = 0,142   m

Passo 2

Vamos agora ao item (b). Neste item precisamos começar calculando a tensão superficial local para as mesmas distâncias de anteriormente. Ela é dada por:

τ s , x = ρ v 2 2 0,664 R e x - 1 / 2

Para o ar a T = 300   K (Tabela A-4, apêndice A):

ρ = 1,161   k g / m 3

Então, para x = 1   m m :

τ s , x = 1,161 × 25 2 2 × 0,664 × 25 × 1 × 10 - 3 15,89 × 10 - 6 - 1 / 2

τ s , x = 6,074   N / m 2

Para x = 10   m m :

τ s , x = 1,161 × 25 2 2 × 0,664 × 25 × 1 0 × 10 - 3 15,89 × 10 - 6 - 1 / 2

τ s , x = 1,92   N / m 2

E para x = 10 0   m m :

τ s , x = 1,161 × 25 2 2 × 0,664 × 25 × 10 0 × 10 - 3 15,89 × 10 - 6 - 1 / 2

τ s , x = 0,607   N / m 2

Continuando o item (b), devemos determinar a velocidade na direção y para cada caso.Ela é dada por:

v y = 1 2 ϑ v x η d f d η - f

Em que

η = y v ϑ x

Considerando y = δ :

η = 5 ϑ v 1 / 2 x 1 / 2 v ϑ x

η = 5

A partir da tabela 7.1 do capítulo 7 podemos encontrar os seguintes valores:

d f d η = 0,991

f = 3,2835

Aplicando a equação de v y para x = 1   m m :

v y = 1 2 15,89 × 10 - 6 × 25 1 × 10 - 3 5 × 0,991 - 3,2835

v y = 0,527   m / s

Para x = 10   m m :

v y = 1 2 15,89 × 10 - 6 × 25 1 0 × 10 - 3 5 × 0,991 - 3,2835

v y = 0,16 7   m / s

E, para x = 10 0   m m :

v y = 1 2 15,89 × 10 - 6 × 25 1 0 0 × 10 - 3 5 × 0,991 - 3,2835

v y = 0 , 0527   m / s

Passo 3

No item (c) devemos falar se as aproximações da camada limite eram válidas para o problema. Aproximações da camada limite são simplificações que fazemos para diminuir o número de variáveis a serem consideradas e tornar a análise dos fenômenos de transporte mais simples. Uma delas é a consideração de escoamento em regime laminar. Como calculamos no item (a), esta simplificação é valida para este problema.

Outra simplificação é que a velocidade na direção x é muito superior à velocidade de escoamento em y . De fato, pelos resultados do item (b), podemos ver que v y ≪ 25   m / s , então, essa aproximação também é válida.

Uma outra aproximação que podemos fazer é considerar que a espessura da camada limite é muito inferior ao comprimento da placa. No item (a), podemos verificar que isso realmente ocorreu ( δ ≪ x ) para todos os valores de x testados.

Resposta

(a) x = 1   m m : δ = 1,26 × 10 - 4   m

x = 10   m m : δ = 4 × 10 - 4   m

x = 100   m m : δ = 1,26 × 10 - 3   m

As camadas limites se encontram em: x = 0,142   m .

(b) x = 1   m m : τ s , x = 6,074   N / m 2 ; v y = 0,527   m / s .

x = 10   m m : τ s , x = 1,92   N / m 2 ; v y = 0,167   m / s .

x = 100   m m : τ s , x = 0,607   N / m 2 ; v y = 0,0527   m / s .

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