Enunciado

13.55 Duas esferas concêntricas com diâmetro D1 = 0,8 m e D2 = 1,2 m estão separadas por um espaço contendo ar e têm temperaturas superficiais de T1 = 400 K e T2 = 300 K.

  1. Se as superfícies forem negras, qual é a taxa de troca de radiação líquida entre as esferas?
  2. Qual é a taxa de troca de radiação líquida entre as superfícies se elas forem difusas e cinzas com ε1 = 0,5 e ε2 = 0,05?
  3. Qual é a taxa de troca de radiação líquida se o valor de D2 for aumentado para 20 m, com ε2 = 0,05; ε1 = 0,5 e D1 = 0,8 m? Qual seria o erro introduzido caso fosse admitido um comportamento de corpo negro para a superfície externa (ε2 = 1), com todas as demais condições permanecendo as mesmas?
  4. Para D2 = 1,2 m e emissividades de ε1 = 0,1; 0,5 e 1,0; calcule e represente graficamente a taxa de troca de radiação líquida como uma função de ε2 para 0,05 ≤ ε2 ≤ 1,0.

Passo 1

Vamos lá! Pra começar, vamos desenhar um esqueminha do que o enunciado ta dizendo:

Para a letra a as superfícies são negras, logo ε 1 = ε 2 = 1 , queremos a taxa de troca de radiação líquida entre as duas esferas:

q 12 = A 1 F 12 σ ( T 1 4 - T 2 4 )

Onde A 1 :

A 1 = π D 1 4

Pela regra da soma:

F 12 + F 11 = 1

Se F 11 = 0 , então:

F 12 = 1

Sabendo que σ = 5,67 × 10 - 8   W / m 2 K 4 :

q 12 = π × 0,8 2 × 5,67 × 10 - 8 400 4 - 300 4

Achamos:

q 12 = 1995   W

Passo 2

Agora a gente quer q 12 mas as emissividades são ε 1   =   0,5 e ε 2   =   0,05 , temos esferas concêntricas, logo podemos usar a equação 13.26 do livro:

q 12 = σ A 1 T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 D 1 D 2 2

Podemos substituir:

q 12 = 5,67 × 10 - 8 × π × 0,8 2 400 4 - 300 4 1 0,5 + 1 - 0,05 0,05 0,8 1,2 2  

Achamos:

q 12 = 191   W

Passo 3

Agora temos a seguinte situação:

E queremos q 12 !! Vamos usar a mesma equação que usamos no Passo 2 e só temos que mudar um dado, D 2 .

q 12 = 5,67 × 10 - 8 × π × 0,8 2 400 4 - 300 4 1 0,5 + 1 - 0,05 0,05 0 , 8 20 2  

Calculando:

q 12 = 983   W

Mas também queremos saber o erro, caso a gente considerasse ε 2 = 1 , então vamos calcular q 12,2   para esse caso:

q 12 = 5,67 × 10 - 8 × π × 0,8 2 400 4 - 300 4 1 0,5 + 1 - 1 1 + 0,8 20 2 = 998   W

O erro é dado por:

% e r r o = q 12 - q 12,2 q 12 × 100 %

Substituindo:

% e r r o = 983 - 998 983 × 100 %

Achamos:

% e r r o = 1,52 %

Passo 4

E por fim, a gente volta para as dimensões originais, onde D 2 = 1,2   m e a gente quer ver graficamente a relação entre q 12 e ε 2 para três valores diferentes de ε 1 :

ε 1 = 0,1 ; 0,5 ; 1,0

Mas primeiro vamos calcular

q 12 = 5,67 × 10 - 8 × π × 0,8 2 400 4 - 300 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 0,8 1,2 2  

Simplificando:

q 12 = 1995,037 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 × 0,44  

Com isso vamos plotar o gráfico variando ε 2 entre 0,05 e 1

Aweeeee!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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