Enunciado

139. Sejam dois bastões longos e delgados de mesmo diâmetro, porém feitos de materiais diferentes. Uma extremidade de cada bastão está fixada a uma superfície (base) mantida a 100°C, enquanto as suas superfícies estão expostas ao ar ambiente a 20°C. Ao mover ao longo do comprimento de cada bastão um termopar, foram observadas temperaturas iguais nas posições xA = 0,15 m e xB = 0,075 m, sendo x medido a partir da base. Se a condutividade térmica do bastão A é conhecida e igual a kA = 70 W/(m ·K), determine o valor de kB para o bastão B.

Passo 1

A distribuição de temperatura de uma barbatana infinitamente longa é expressa como,

T x - T ∞ T b - T ∞ = e - m x

Aqui  T b   está a temperatura base, m é o parâmetro e  T ∞   a temperatura do ar ambiente.

A distribuição de temperatura para a haste A é,

T x A - T ∞ T b - T ∞ = e - m A x A     ( 1 )

A distribuição de temperatura para a haste B é,

T x B - T ∞ T b - T ∞ = e - m B x B     ( 2 )

As temperaturas das varetas eram iguais nas posições prescritas  x A , e  x B .

T x A = T ( x B )

Como a temperatura base das hastes A e B são iguais, as expressões no lado esquerdo das equações (1) e (2) são iguais.

T x A - T ∞ T b - T ∞ = T x B - T ∞ T b - T ∞       ( 3 )

Passo 2

Combine as equações (1), (2) e (3) para obter a igualdade,

e - m A x A = e - m B x B

m A x A = m B x B

h P k A A C x A = h P k B A C x B

k B = k A x B x A 2

k B = 70 × 0,075 0,15 2

= 17,5 W m . K

Portanto, a condutividade térmica da haste B é  17,5 W m . K .

Resposta

k B = 17,5 W m . K

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