Enunciado

144 - Como descrito no Problema 7.84, a segunda etapa na engenharia tecidual é a semeação da superfície superior da base de sustentação com células humanas que em seguida crescem para o interior dos poros da base. Um método de semeação que foi proposto envolve o uso de um gerador de gotas similar ao do Problema 7.84 para gerar gotas com diâmetro D p =   50   μ m . O material no gerador de gotas é uma lama constituída por uma mistura de um líquido hospedeiro e células de fígado humano. O líquido hospedeiro tem propriedades similares às da água e as células de fígado são esféricas com diâmetro D c f =   20   μ m e massa específica ρ c f = 2400   k g / m 3 . As gotas são injetadas no ar atmosférico com uma umidade relativa e uma temperatura de ϕ ∞   =   0,50 e T ∞ =   25 ℃ , respectivamente. As partículas são injetadas com uma temperatura inicial de T i =   25 ℃ .

(a) É desejável que cada gota contenha uma célula de fígado. Determine a fração volumétrica,   f , de células de fígado na lama e a velocidade terminal para uma gota contendo uma célula.

(b) A gota contendo uma célula de fígado é injetada com a sua velocidade terminal. Determine o tempo de voo para uma distância entre o bocal do ejetor e a base de sustentação de L   =   4   m m .

(c) Determine a taxa de evaporação inicial na gota.

(d) O engenheiro tecidual está ciente de que a evaporação irá mudar a massa da gota e, por sua vez, irá afetar o seu tempo de voo e a precisão com a qual as sementes podem ser colocadas na base de sustentação. Estime a máxima variação de massa devido à evaporação durante o tempo de voo. Compare a variação de massa devida à evaporação com a variação associada à existência de uma a três células de fígado por gota. O que influencia a variação da massa da gota de forma mais significativa, a evaporação ou a população de células por gota?

Passo 1

Na Tabela A.15 (Propriedades termo físicas do ar à pressão atmosférica), obtenha as propriedades do ar a 25   ℃ .

A densidade é,

ρ a = 1,184   k g / m 3

A condutividade térmica do ar é,

k = 0,02551   W / m ⋅ K

A viscosidade cinemática do ar é,

v = 15,62 × 10 - 6   m 2 / s

Na Tabela A.9 (Propriedades termo físicas da água líquida a 25   ℃ ), foram obtidas as seguintes propriedades.

A densidade da água é,

ρ a g = 997   k g / m 3

A densidade do vapor de água a 25   ℃ é,

ρ W = 0,0231   k g / m 3

A difusividade molecular da massa à temperatura ambiente 298   K é

D A B = 0,26 × 10 - 4   m 2 / s

Passo 2

(a)

O volume da gota é,

V g = 4 3 × π × R 3

Aqui, o volume da gota é  V g , o raio da gota é  R .

= 4 3 × π × 25 × 10 - 6 m 3 = 6,55 × 10 - 14   m 3

O volume da célula hepática é,

V c = 4 3 × π × R 3

= 4 3 × π × 10 × 10 - 6 m 3 = 4,12 × 10 - 15   m 3

A fração de volume das células hepáticas na pasta é

f = V C V g = 4,12 × 10 - 15   m 3 6,55 × 10 - 14   m 3 = 0,063

Portanto, a fração de volume das células hepáticas na pasta é 0,063 .

Passo 3

Para estimar a velocidade terminal, considere a força de arrasto total que atua na gota.

F D = C D A F ρ s V 2 2

A força de arrasto é,

F D = M g

Portanto,

M g = C D A F ρ s V 2 2 … . .   ( 1 )

Aqui, a massa da partícula é  M , a área normal da gota é  A f , a densidade da gota é  ρ s e a velocidade terminal é  V .

Calcule a massa da partícula usando a seguinte fórmula:

M = V g ρ c + V g - V S ρ s

Aqui, o volume da célula hepática é  V c , o volume da gota é  V g , a densidade da gota é ρ c e densidade da célula do fígado é ρ c .

M = 4,12 × 10 - 15 × 2400 + 6,55 × 10 - 14 - 4,12 × 10 - 15 × 997

= 9,888 × 10 - 12 + 6,12 × 10 - 11

= 7,11 × 10 - 11   K g

A área da gota é,

A f = π × R 2 = π × 25 × 10 - 6 m 2 = 1,964 × 10 - 9   m 2

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente de arrasto usando a lei de Stokes,

C D = 24 R e D = 24 v V D

Aqui, a velocidade terminal é  V ,o diâmetro da gota é  D , a viscosidade cinemática é  v .

Vamos substituir essa equação na ( 1 ) :

V = M g D 12 v A f ρ s

= 7,11 × 10 - 11 × 9,81 × 50 × 10 - 6 12 × 15,62 × 10 - 6 × 1,963 × 1,184

= 3,48 × 10 - 14 4,413 × 10 - 14

= 0,079   m / s

Portanto, a velocidade terminal é  0,079   m / s .

Passo 5

b)

A hora do voo é, 

t = L V

Aqui, o comprimento do andaime é  L , a velocidade terminal é V .

t = L V = 4 × 10 - 3 0,079 = 0,051   s

Portanto, a hora do voo é  0,051   s .

Passo 6

c) Calcule o número de Reynolds usando a seguinte fórmula:

R e D = V D v

= 0,079 × 50 × 10 - 6 15,62 × 10 - 6

= 0,25

O número Sherwood pode ser usado para encontrar um coeficiente geral de transferência de massa.

S h D = 2 + 0,4 R e D + 0,06 R e D 0,67 × S c 0,4

S c = V D A B

= 15,62 × 10 - 6 0,26 × 10 - 4

= 0,6

Logo:

S h D = 2 + 0,4 × 0,25 + 0,06 0,25 0,67 × 0,6 0,4

= 2 + 0,337 × 0,816

= 2,275

Passo 7

Número de Sherwood = Proporção de gradientes de concentração no limite por difusão e por convecção.

Portanto,

S h D = h m D D A B

Aqui  D é o diâmetro da gota, D A B é a difusividade molecular de massa,  h m é o coeficiente de transferência de massa.

2,275 = h m × 50 × 10 - 6 0,26 × 10 - 4

h m = 2,275 × 0,26 × 10 - 4 50 × 10 - 6

= 1,183   m / s

Portanto, o coeficiente médio de transferência de massa é  1,183   m / s .

Passo 8

A taxa inicial de evaporação da gota é,

n A = h m A S ( ρ a , S - φ s a t ρ a , S )

Aqui  h m é o coeficiente de transferência de massa,  A s é a área da gota esférica,   ρ a , S  é a densidade do vapor de água na superfície 25   ℃ h m é o coeficiente de transferência de massa,  φ s a t é a umidade relativa.

n A = 1,183 × 4 × π × 50 × 10 - 6   m 2 4 × ( 0,0231 - 0,50 × 0,0231 )

= 1,01 × 10 - 10   k g / s

Portanto, a taxa inicial de evaporação é  1,01 × 10 - 10   k g / s .

Passo 9

d) A mudança de massa devido à evaporação durante o tempo de voo é,

∆ M = n A × t

= 1,01 × 10 - 10   k g × 51 × 10 - 3   s  

= 5,1 × 10 - 12   k g

A variação máxima de massa devido à evaporação durante o tempo de alimentação é  5,1 × 10 - 12   k g .

Calcular a massa da gotícula para 3 células hepáticas como,

M = 3 V c ρ c + V s - 3 V c ρ s

Aqui, o volume da célula hepática é  V c , o volume da gota é  V S , a densidade da gota é a  ρ s e densidade da célula do fígado é ρ c .

= 3 × 4,12 × 10 - 15 × 2400 + 6,55 × 10 - 14 - 3 × 4,12 × 10 - 15 × 997

= 8,26 × 10 - 11   K g

Portanto, a mudança na massa relativa a uma célula hepática é:

∆ M = m a s s a   d e   3   c é l u l a s - m a s s a   d e   1   c é l u l a

= 8,26 × 10 - 11 - 7,11 × 10 - 11

= 1,15 × 10 - 11   K g

Compare a variação de massa devido à evaporação e a variação de massa devido às células hepáticas. Portanto, a alteração na massa correspondente ao efeito de 3 células hepáticas é mais sensível do que a alteração na massa devido à evaporação.

Resposta

a)   f = 0,063 e = 0,079   m / s .

b) t = 0,051   s .

c)A taxa inicial de evaporação é  1,01 × 10 - 10   k g / s .

d) Portanto, a alteração na massa correspondente ao efeito de 3 células hepáticas é mais sensível do que a alteração na massa devido à evaporação.

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