Enunciado

Uma técnica para o resfriamento de módulos que possuem múltiplos chips envolve a submersão do módulo em um fluorocarboneto líquido saturado. O vapor gerado devido à ebulição na superfície do módulo é condensado sobre a superfície externa de um tubo de cobre que se encontra suspenso na região acima do líquido preenchida pelo vapor. O tubo, com parede delgada, tem diâmetro D = 10 mm e forma uma serpentina em um plano horizontal. Ele é resfriado por água, que entra a 285 K e sai a 315 K. Todo o calor dissipado pelos chips do módulo é transferido através de uma superfície de ebulição com dimensões de 100 mm por 100 mm, na qual o fluxo térmico para o fluorocarboneto líquido a T s a t = 57 °C é de 10 5 W/m². As propriedades do líquido são k l = 0,0537 W/(m · K), c p , l = 1100 J/(kg · K), h f g ' ≅ h f g = 84.400 J/kg, ρ l = 1619,2 kg/m³, ρ v = 13,4 kg/m³, σ = 8,1.10 - 3   k g / s 2 , μ l = 440.10 - 6   k g / ( m . s ) e P r l = 9.

(a) Para a taxa de dissipação de calor especificada, quais são a taxa de condensação (kg/s) e a vazão mássica de água (kg/s) necessárias?

(b) Admitindo escoamento plenamente desenvolvido ao longo do tubo, determine a temperatura na superfície do tubo na entrada e na saída da serpentina.

(c) Admitindo uma temperatura superficial uniforme no tubo de T s = 53,0°C, determine o comprimento que a serpentina deve ter.

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é ir no apêndice A e pegar as propriedades da água na tabela A.6 para a temperatura média de escoamento T m , que é dada pela média entre a temperatura de entrada e a temperatura de saída, ou seja:

T m = 285 + 315 2 → T m = 300   K

Então, para essa temperatura temos as seguintes propriedades:

ρ = 997   k g / m 3

c p = 4179   J / k g . K

μ = 855 . 10 - 6   N . s / m 2

k = 0,613   W / m . K

P r = 5,83

Agora sim vamos começar a letra (a). Então, como o enunciado nos deu o fluxo térmico para o fluorocarboneto, vamos calcular a taxa de transferência de calor, que será dada por:

q = q ' ' A

Substituindo os valores conhecidos, temos:

q = 10 5 0,1 2 → q = 1000   W

Com isso, podemos encontrar a taxa de condensação através da equação 10.34, onde temos então:

m ˙ = q h f g ' = 1000 84400 → m ˙ = 0,0118   k g / s

Agora, da mesma forma, vamos encontrar a vazão mássica de água necessária no sistema, que é dada por:

m ˙ a = q c p T m , s - T m , e = 1000 4179 315 - 285 → m ˙ a = 7,98.10 - 3   k g / s

Passo 2

Agora, para a letra (b), nós vamos calcular o número de Reynolds para o escoamento no interior do tubo, então sabendo que Reynolds é dado por:

R e D = ρ u m D μ

No entanto, temos a informação da vazão mássica, que por sua vez é dada por:

m ˙ = ρ u m A = ρ u m π D 2 4

Isolando a densidade dessa expressão, teremos:

ρ = 4 m ˙ u m π D 2

E, substituindo essa expressão na equação para Reynolds, chegamos em:

R e D = 4 m ˙ u m D μ u m π D 2 → R e D = 4 m ˙ μ π D

E, substituindo os valores conhecidos, chegaremos em:

R e D = 4 7,98.10 - 3 855 . 10 - 6 π 0,01 → R e D = 1188,3

Então, como temos Reynolds menor que 2300, o nosso escoamento será laminar. Dessa, forma, assumindo temperatura na parede constante, temos que nosso Nusselt será:

N u D = 3,66

Então, sabendo que o número de Nusselt se relaciona com o coeficiente convectivo através da seguinte relação:

h = N u D k D

Substituindo os valores conhecidos, chegamos no coeficiente convectivo para o escoamento interno, onde teremos:

h i = 3,66 0,613 0,01 → h i = 224,3   W / m 2 . K

Passo 3

Agora, para encontrar o coeficiente convectivo de condensação do escoamento externo, precisamos utilizar a equação 10.46, que é dada por:

N u D = h D k l = C ρ l g ρ l - ρ v h f g ' D 3 μ l k l T s a t - T s 1 4

Onde para tubos, temos C = 0,729 . Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

h e 0,01 0,0537 = 0,729 1619,2 9,8 1619,2 - 13,4 ( 84400 ) 0,01 3 440.10 - 6 0,0537 57 - T s 1 4

Simplificando a expressão, chegamos em:

h e = 2150,2 1 57 - T s 1 4

Agora, aplicando um balanço de energia na superfície do tubo, temos que a taxa de transferência de calor dentro do tubo é igual àquela no exterior do tubo, então podemos escrever:

q i = q e → h i T s - T m = h e T s a t - T s

Vamos calcular para a superfície de entrada e a de saída. Então, na superfície de entrada teremos:

h i T s , e - T m , e = h e T s a t - T s , e

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

224,3 T s , e - 285 = 2150,2 1 ( 57 + 273 ) - T s , e 1 4 57 + 273 - T s , e

Resolvendo essa equação com o auxílio de uma calculadora, chegamos em:

T s , e = 323,6   K

Agora, resolvendo a mesma equação, só que para a saída, temos:

h i T s , s - T m , s = h e T s a t - T s , s

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

224,3 T s , s - 315 = 2150,2 1 ( 57 + 273 ) - T s , s 1 4 57 + 273 - T s , s

Resolvendo essa equação com o auxílio de uma calculadora, chegamos em:

T s , s = 328,4   K

Passo 4

Agora para a letra (c), admitindo que temos T s = 53   ° C = 326   K , o comprimento que a serpentina deve ter pode ser determinado pela equação 8.43 lá do capítulo de escoamento interno, que é dada por:

q = h A s Δ T m l

Então, como estamos tratando do escoamento interno, temos h = h i e a área superficial será A s = π D L . Então, substituindo os valores conhecidos na equação de cima e isolando L , teremos:

q = h i π D L Δ T m l → L = q h i π D Δ T m l

Agora, para encontrar o valor para Δ T m l , nós iremos utilizar a equação 8.44, que nos dá:

Δ T m l = Δ T s a i - Δ T e n t ln ⁡ Δ T s a i Δ T e n t

Então, sabendo que os deltas são calculados com base na temperatura da superfície no ponto em específico, a equação acima se torna:

Δ T m l = T s - T m , e - T s - T m , s ln ⁡ T s - T m , e T s - T m , s

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Δ T m l = 326 - 285 - 326 - 315 ln ⁡ 326 - 285 326 - 315 → Δ T m l = 22,8   K

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para o comprimento da serpentina, chegamos em:

L = q h i π D Δ T m l = 1000 224,3 π 0,01 22,8 → L = 6,22   m

Resposta

a :   m ˙ = 0,0118   k g / s

a :   m ˙ a = 7,98.10 - 3   k g / s

b :   T s , e = 323,6   K

b :   T s , s = 328,4   K

c :   L = 6,22   m

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