Enunciado

16. Condução de calor unidimensional, em regime estacionário, ocorre em uma barra de condutividade térmica constante k e área da seção transversal variando conforme a relação Ax(x) = Aoeax, na qual Ao e a são constantes. A superfície lateral da barra encontra-se isolada termicamente.

(a) Escreva uma expressão para a taxa de condução de calor, qx(x). Use essa expressão para determinar a distribuição de temperaturas T(x) e esboce,qualitativamente, a distribuição para T(0) > T(L).

(b) Agora considere condições nas quais há geração de energia térmica no interior da barra a uma taxa volumétrica de = exp(−ax), na qual o é uma constante. Obtenha uma expressão para qx(x), quando a face esquerda da barra (x = 0) se encontra isolada termicamente.

Passo 1

Desenvolva a expressão para taxa de transferência de calor por condução a partir da equação do balanço energético:

E ˙ e n t r a + E ˙ g = E ˙ s a i

q x + q ˙ A x d x = q x + d x

Fazendo algumas substituições na equação acima chegamos em:

q x + q ˙ e - a x A 0 e a x d x = q x + d q x d x d x    

d q x d x = q ˙ e - a x A 0 e a x ( 1 )

Passo 2

Letra (a)

Considere o caso em que não há geração de calor na haste, temos da equação (1):

d q x d x = 0 × e - a x A 0 e a x

d q x d x = 0

d d x - k A x d T d x = 0

A 0 e a x d T d x = C 1

d T = C 1 A 0 e a x d x

T x = - C 1 A 0 a e - a x + C 2

Assim, a expressão para a temperatura na barra é T x = - C 1 A 0 a e - a x + C 2

O gráfico que mostra a variação de temperatura com a posição é o seguinte:

Passo 3

Letra (b)

Considere o caso em que há geração de calor na haste e modifique a equação (1):

d q x d x = q 0 ˙ e - a x A 0 e a x

d q x d x = q ˙ 0 A 0

q x = q ˙ 0 A 0 x

Assim, a expressão para a taxa de transferência de calor na haste é q x = q ˙ 0 A 0 x .  

Resposta

  1. T x = - C 1 A 0 a e - a x + C 2
  2. q x = q ˙ 0 A 0 x
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