Enunciado

Ar a 20°C escoa em uma seção quadrada de um duto feito de aço comercial. O duto tem 25 m de comprimento. Que tamanho de duto (comprimento de um lado) deve ser empregado para produzir uma vazão de 2 m 3 s de ar com uma queda de pressão de 1,5 cm de água?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga (ou equação da energia):

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos:

α = 1 ;

V 1 = V 2 ;

z 1 = z 2

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, a eq perda de carga menor será desprezada:

h p = f L V ² 2 D g

Passo 2

Do problema, temos:

e = 0,046 m m ( T a b e l a   8.1 )       Q = 2 m 3 s     ρ = 1,25 k g m 3         ν = 1 , 5 * 10 - 5 m 2 s   |      

Δ h = 1,5   c m     L = 25   m    

Obs: propriedades do ar à 2 0 0 C , Tabela A.10 .

Façamos a análise do primeiro tubo: Assim, a equação da energia, de forma simplificada, fica:

Δ P ρ = f L V ² 2 D h     ( 1 )

Vale lembrar que:

Δ P = ρ h 20 g Δ h = 99 8 * 0,0 15 * 9,81 = 0,147   k P a

E que, para tubos de seção quadrada:

D h = 4 h h 2 ( h + h ) = h       → A = h 2

Porém, da eq 1, não sabemos o valor da velocidade, mas sabemos a vazão:

V = Q A   e   A = h 2 r a         →     V = Q h 2

Substituindo as expressões na equação 1:

Δ P = ρ f L Q ² 2 h * h 4      

Isolando o h, temos:

h = ρ f L Q 2 2 Δ P 1 5 ( 1 )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = V D ν     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

A equação 1 é complicada porque h é desconhecido, então Dh é desconhecido, portanto V é desconhecido (mesmo que Q seja conhecido), e Re e, portanto, f são desconhecidos! Podemos configurar o Excel para resolver a Eq 1, o número de Reynolds e f, simultaneamente, variando h, como mostra a tabela a seguir:

Cada célula possui sua respectiva fórmula encontrada neste exercício. Após a 7ª iteração, é possível perceber a convergência.

Resposta

Portanto, as dimensões mínimas são 422 mm por 422 mm.

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