Enunciado

25 – Uma haste composta consiste de dois diferentes materiais, A e B, cada um com comprimento de 0,5L.

A condutividade térmica do material A é metade da do material B, isto é, kA/kB=0,5. Esboce a distribuição de temperatura, T(x), e fluxo de calor, qx”, em estado estacionário. Assumir propriedades constantes e sem geração de interna de calor para ambos os materiais.

Passo 1

Para conseguirmos esboçar a distribuição de temperatura e também o fluxo de calor, precisaremos de uma expressão matemática em função de x (comprimento do material).

Para isso vamos utilizar a equação global do calor, aplicada a uma parede plana.

Passo 2

Lembrando da eq. do calor, que em coordenadas cartesianas (x, y, z), é a seguinte:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t               E q 1

Onde,

-x, y e z são as coordenadas cartesianas de um sistema tridimensional;

-T é a temperatura;

-k é a condutividade térmica;

- q ˙ , é a geração volumétrica de calor;

-cp é o calor especifico;

-ρ é a densidade;

-t é o tempo.

Os termos da eq. são:

-Condução de calor na direção x:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x

-Condução de calor na direção y:

∂ ∂ y k ∂ T ∂ y

-Condução de calor na direção z:

∂ ∂ z k ∂ T ∂ z

-Geração de energia na forma de calor:

q ˙

-Variação temporal da temperatura no volume de controle:

ρ c p ∂ T ∂ t

Passo 3

Agora vamos estabelecer as condições acerca do processo para aplicarmos na eq. do calor e reduzirmos ela.

Pelo enunciado, sabemos que o processo ocorre em estado estacionário, então não variação temporal,

ρ c p ∂ T ∂ t = 0

Também sabemos que não tem geração de energia, assim

q ˙ = 0

Pela figura, podemos assumir que ocorre uma condução unidimensional, apenas na direção x, assim

∂ ∂ y k ∂ T ∂ y = ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z = 0

Portanto a eq. do calor é simplificada para:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x = 0             E q 2

Passo 4

Com essa equação, conseguimos determinar uma expressão de T(x).

Resolvendo a equação diferencial, Eq2:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x = 0

Tirando a constante de dentro do parêntese, pois as propriedades são constantes:

k ∂ ∂ x ∂ T ∂ x = 0

∂ ∂ x ∂ T ∂ x = 0

Integrando em relação a x

∫ ∂ ∂ x ∂ T ∂ x d x = ∫ 0 d x

∂ T ∂ x = c 1

Integrando novamente em relação a x

∫ ∂ T ∂ x d x = ∫ c 1 d x

T x = c 1 x + c 2         E q 3

Passo 5

Vemos que achamos uma expressão em que T é linear em relação a x, assim a distribuição de temperatura nos materiais seguirá um padrão linear.

A distribuição de temperatura pode ser esboçada da seguinte forma:

Veja que a temperatura varia linearmente com uma inclinação menor no material A, isso porque este material possui uma condutividade térmica menor em relação ao material B.

Passo 6

Agora para o fluxo de calor, vamos relembra da Lei de Fourier:

A Lei de Fourier para um processo difusivo ocorrendo de forma unidimensional é:

q " = - k d T d x

Assim, vamos derivar a Eq3 para encontrar uma expressão para q’’:

q " = - k d T d x = - k d ( c 1 x + c 2 ) d x

Derivando,

q " = - k c 1

Assim, você pode ver que o fluxo de calor é constante ao longo do comprimento de cada material, sendo que para o material A, o fluxo de calor será a metade do fluxo de calor do material B.

O esboço da distribuição pode ser a seguinte:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17. Um aparelho para medir condutividade térmica emprega um aquecedor elétrico que é posicionado entre duas amostras idênticas, com 30 mm de diâmetro e 60 mm de comprimento, que são pressionadas entre
Considere as distribuições de temperaturas em regime estacionário no interior de uma parede composta pelos Materiais A e B para os dois casos mostrados. Não há geração interna e o processo de condução
Considere uma parede plana unidimensional com espessura 2 L . A superfície em x=- L é submetida a condições de convecção caracterizadas por T ∞ , 1eh 1 , enquanto a superfície em x=+ L é submetida a c
A parede plana mostrada na figura, com propriedades constantes e sem geração interna de calor, está inicialmente a uma temperatura uniforme T i . De repente, a superfície emx=L é aquecida por um fluid
Uma grande placa de espessura 2 L encontra-se a uma temperatura uniforme T i =200 ° C , quando é subitamente imersa em um banho líquido com temperatura T ∞=20 ° C . A transferência de calor para o líq