Enunciado

Considere uma parede plana unidimensional com espessura 2 L . A superfície em x   =   - L é submetida a condições de convecção caracterizadas por T ∞ , 1   e   h 1 , enquanto a superfície em x   =   + L é submetida a condições de convecção caracterizadas por T ∞ , 2 e h 2 . A temperatura inicial na parede é T 0   = T ∞ , 1   +   T ∞ , 2 2 ,   s e n d o   T ∞ , 1   >   T ∞ , 2 .

(a) Escreva a equação diferencial e identifique as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a distribuição de temperaturas T ( x ,   t ) em função da posição e do tempo.

(b) Em coordenadas   T   -   x , esboce as distribuições de temperaturas para a condição inicial, para o regime estacionário e para dois outros instantes de tempo intermediários, para o caso no qual h 1   =   h 2 .

(c) Em coordenadas -   t , esboce o fluxo térmico ( x ,   t ) nos planos x   =   0 ,   - L   e   + L .

(d) O valor de h 1 é agora dobrado, com todas as outras condições sendo idênticas as das partes (a) até (c). Em coordenadas T   -   x e na mesma escala usada na parte (b), esboce as distribuições de temperaturas para a condição inicial, para o regime estacionário e para dois outros instantes de tempo intermediários. Compare estes esboços com os da parte (b).

(e) Usando o valor dobrado de h 1 , esboce o fluxo térmico ( x ,   t ) nos planos x   =   0 ,   - L e + L , no mesmo gráfico que você preparou para a parte (c). Compare as duas respostas.

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional, logo a troca de calor só ocorre em uma direção, vamos fazer nosso diagrama pra facilitar nossa vida.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - N ã o   h á   g e r a ç ã o   i n t e r n a   d e   c a l o r

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), que nos pede as condições de contorno e a nossa equação diferencial. Para isso vamos escrever nossa lei de Fourier (equação 2.21 ).

Como nossa condução é unidimensional e não há geração de energia, temos:

Assim nossa equação fica:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t

Como quanto t = 0 nossa temperatura é T , em cada superfície será equivalente a temperatura ambiente de cada superfície, ou seja:

T L , 0 = T ∞ ,   2

T - L , 0 = T ∞ ,   1

Agora pra nossas condições de contorno, nas superfícies o fluxo de calor por condução é igual o fluxo de calor por convecção:

- k ∂ T ∂ x L = h 2 T ∞ ,   2 - T L ,   t

- k ∂ T ∂ x - L = h 1 T ∞ ,   1 - T - L ,   t

Passo 3

(b) Bem nosso problema nos pede uma representação gráfica da distribuição de temperatura ao longo da superfície, vamos calcular nossa T ( x )

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t ,

Integrando duas vezes em função de t e x temos:

∫ ∫ ∂ 2 T ∂ t = ∫ 1 α ∂ T ∂ x 2

T x ,   t = t ⋅ e - x + c a

Usando nossas condições de contorno encontramos nosso gráfico que fica assim:

t 2 > t 1

Como não existe geração de calor e E e n t r a = E s a i , eventualmente nosso gradiente de temperatura vai se tornar constante, e como T ∞ , 1   >   T ∞ , 2 a temperatura vai decair ao longo do eixo x .

No regime permanente nosso fluxo vai ser dado por:

- k ∂ T ∂ x = h 1 T ∞ ,   1 - T - L = h 2 T L - T ∞ ,   2

Passo 4

(c) Vamos lá seguindo a lógica do nosso gráfico passado, temos:

Para o instante t os nossos fluxos serão idênticos.

q x ' ' ± L = h 1 T ∞ ,   1 - T - L ,   h 2 T L - T ∞ ,   2

Após o passar do tempo os nossos efeitos térmicos chegarão até o centro da parede então o fluxo será constante.

Assim vamos traçar a curva pro centro da parede e pra ambas as superfícies

Passo 5

(d) Se dobrarmos nosso coeficiente de convecção a única diferença será pra na superfície - L pois o fluxo dobra pois.

q x ' ' ± L = 2 h 1 T ∞ ,   1 - T - L ,   h 2 T L - T ∞ ,   2

Daí nossos gráficos ficam:

Passo 6

(e) Se dobrarmos nosso coeficiente de convecção a nossas equações de fluxo vão divergir assim temos:

Para t = 0 o fluxo na superfície - L será o dobro do valor da superfície L .

Depois de um certo tempo t ∞ os efeitos térmicos vão chegar ao centro da parede e os nossos fluxos serão iguais.

- k ∂ T ∂ x = 2 h 1 T ∞ ,   1 - T - L = h 2 T L - T ∞ ,   2

Assim nosso gráfico fica.

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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