Enunciado

27 - Um fluido quente escoa através de canais circulares em uma peça de ferro fundido (A) com espessura L A = 30   m m , que apresenta um contato deficiente com as placas de cobertura (B), que têm espessura L B = 7,5   m m . Os canais têm diâmetro D = 15   m m e o espaçamento entre as linhas de centro de canais adjacentes é L o = 60   m m . As condutividades térmicas dos materiais são k A = 20   W / ( m ·   K ) e k B = 75   W / ( m ·   K ) , enquanto a resistência de contato entre os dois materiais é de   R t , c " =   2,0   ×   10 – 4   m 2   K / W . O fluido quente está a T i = 150 ℃ e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 1000   W / ( m 2   ·   K ) . A placa de cobertura está exposta ao ar ambiente a T ∞ = 25 ℃ , com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 200   W / ( m 2 ·   K ) . O fator de forma entre um canal e a superfície superior e a inferior da peça é 4,25.

(a) Determine a taxa de transferência de calor a partir de um único canal, por unidade de comprimento da peça na direção normal à página, q i ' .

(b) Determine a temperatura da superfície externa da placa de cobertura, T s .

(c) Comente a respeito dos efeitos de mudanças no espaçamento entre os canais nos valores de q i ' e T s . Como o isolamento da superfície inferior afetaria e T s ?

Passo 1

(a) Taxa de calor de um único canal por unidade de profundidade:

A resistência térmica  R t A , da forma entre um canal e as superfícies superior e inferior da placa é apresentada como abaixo.

R t A = 1 S A k A … … ( 1 )

Aqui, S A é o fator de forma entre um canal e as superfícies superior e inferior do cilindro e  k A é a condutividade térmica do material do cilindro A.

A resistência térmica  R t c de cada contato entre a peça A e a placa B é dada por:

R t c = R t , c " L O ( 1   m )

= R t , c " L O … … ( 2 )

Aqui  R t , c " é a resistência de contato entre a placa A e a placa de cobertura B,  L O é a distância entre duas adiabáticas sobre um canal e o comprimento da placa é 1   m .

Passo 2

A resistência térmica R t B  de cada placa de cobertura B é dada por:

R t B = L B k B L O ( 1 m )

= L B k B L O … … ( 3 )

Aqui, L B é a espessura da placa de cobertura B e  k B é a condutividade térmica do material da placa de cobertura B.

Passo 3

Determine a resistência térmica total R t o t , entre a superfície interna do canal e a superfície externa das placas de cobertura B por unidade de profundidade, conforme abaixo:

R t o t = R t A + R t c 2 + R t B 2

O fator  1 2 é considerado pois os caminhos de fluxo através das placas de cobertura superior e inferior serão considerados como caminhos paralelos. Agora vamos substituir as expressões para  R t A , R t c  e  R t B a partir das equações ( 1 ) , ( 2 ) e ( 3 ) , respectivamente, na equação acima para  R t o t . Portanto:

R t o t = 1 S A k A + R t , c " 2 L O + L B 2 k B L O … … .   ( 4 )

A taxa de fluxo de calor q ' , por unidade de profundidade do fluido quente até a superfície do canal do conjunto por convecção, é dada por:

q ' = h i × π D 1   m × T i - T f … . . ( 5 )

Aqui,   h i é o coeficiente de convecção do fluido quente, o  D é o diâmetro do canal, T i é a temperatura do fluido quente e a  T f é a temperatura da interface entre o fluido quente e o canal.

A taxa de transferência de calor  q c s , por unidade de profundidade da interface do canal para a superfície externa do conjunto devido à condução é dada por:

q c s = T f - T s R t o t

Aqui,  T s é a temperatura da superfície lateral externa da placa de cobertura B R t o t é a resistência térmica total do conjunto. Substitua a expressão de  R t o t da equação ( 4 ) na equação acima. Portanto:

q c s = T f - T s 1 S A k A + R t , c " 2 L O + L B 2 k B L O … … ( 6 )

A taxa de transferência de calor  q c a , por unidade de profundidade da superfície externa para o ar por convecção é dada por:

q c a = 2 × h × L o × 1 m × T s - T ∞ … … ( 7 )

Aqui,  h é o coeficiente de convecção do ar e  T ∞ é a sua temperatura. O fator  2 é considerado para duas superfícies externas.

Para a situação de estado estacionário  q c L , q c s e q c A será igual e será a taxa de transferência de calor,  q i ' , por unidade de profundidade a partir de um único canal. Reescreva e reorganize as equações ( 5 ) , ( 6 ) e ( 7 ) em termos de q i ' . Observe a seguir:

q i ' π D h i = T i - T f … … ( 8 )

q i ' ×   1 S A k A + R t , c " 2 L O + L B 2 k B L O = T f - T s … … ( 9 )

q i ' 2 L O h = T s - T ∞ … . .   ( 10 )

Adicione os dois lados das equações ( 8 ) ,   ( 9 ) e ( 10 ) como abaixo:

q i ' × 1 π D h i +   1 S A k A + R t , c " 2 L O + L B 2 k B L O + 1 2 L O h = T i - T ∞ … . .   ( 11 )

Passo 4

Substituindo pelos valores conhecidos e transformando a temperatura de para K .

q i ' × 1 π × 15 × 10 - 3 × 1000 +   1 4,25 × 20 + 2 × 10 - 4 2 × 60 × 10 - 3 + 7,5 × 10 - 3 2 × 60 × 10 - 3 × 75 + 1 2 × 60 × 1 0 - 3 × 200 = 150 - 25

Simplifique a equação acima como abaixo:

q i ' × 0,021212 + 0,011765 + 0,001667 + 0,000833 + 0,041667 = 125

Portanto,  q i ' é dado por:

q i ' = 1620,35   W

A taxa de fluxo de calor de um único canal por unidade de comprimento ( 1   m ) da placa é  1620,35   W .

Passo 5

b) Temperatura da superfície externa da placa de cobertura:

Reorganize a equação (10) para expressar a temperatura da superfície  T s como abaixo:

T s = T ∞ + q i ' 2 L O h

= 25   ℃ + 1620,35 2 × 60 × 10 - 3 × 200 ℃

= 92,51   ℃

Portanto, a temperatura da superfície externa da placa de cobertura é  92,51   ℃ .

Passo 6

(c) Comentários sobre alterações especificadas:

Encontre   q i ' a partir da equação (11) como abaixo:

q i ' = T i - T ∞ 1 π D h i +   1 S A k A + R t , c " 2 L O + L B 2 k B L O + 1 2 L O h

Se  L O aumentar, o denominador do lado direito é diminuído. Assim  q i '   é aumentado.

Assim,  q i '   aumenta se o espaçamento da linha central aumenta e ele diminui se o espaçamento da linha central diminui.

Se a superfície inferior for isolada, um caminho de fluxo será bloqueado. Assim  q i '   será menor. Isso também é evidente na expressão matemática acima, porque o denominador aumentará.

Encontre a  T s a partir da equação (10) como abaixo:

T s = T ∞ + q i ' 2 L O h

= T ∞ + T i - T ∞ 2 L O h 1 π D h i +   1 S A k A + R t , c " 2 L O + L B 2 k B L O + 1 2 L O h

À medida que  L O aumenta, o denominador da fração da mão direita aumenta. Assim  T s irá diminuir. Da mesma forma, se  L O diminui, a T s aumentará.

Se a tampa inferior estiver isolada, a q i ' diminuirá. Portanto  T s irá diminuir.

Resposta

  1. q i ' = 1620,35   W
  2. 92,51   ℃
  3. Veja a solução
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