Enunciado

35 – Um de dois revestimentos finos podem ser aplicados em uma placa metálica, produzindo as emissividades espectrais seguintes, abaixo e acima do comprimento de onda de corte, λc = 8 μm.

Se a temperatura da placa é Ts = 600 K e a temperatura da vizinhança é Tviz = 400 K, determine a radiosidade e o fluxo de calor liquido na superfície da placa sem revestimento, com revestimento A, e com revestimento B. Qual revestimento promove o maior fluxo de calor? Se o comprimento de onda de corte for λc = 6 μm ao invés de 8 μm, qual revestimento promove o maior fluxo de calor liquido?

Passo 1

Vamos começar determinando uma expressão para a radiosidade.

A radiosidade pode ser determinada pela soma entre a potência da radiação emitida com a potência da radiação refletida

J = E + ρ G

Onde, E pode ser expressa em termos da potência emitida de um corpo negro:

E = ε E b ( T s )

A potência de radiação refletida pode ser expressa em termos da absortividade, α e da potência de radiação refletida de um corpo negro:

ρ G = 1 - α E b ( T v i z )

Sendo que a potência emitida de um corpo negro é dada por:

E b T s = σ T s 4 ;   E b T v i z = σ T v i z 4

Onde, σ é a constante de Stefan-Boltzmann:

σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4

Assim,

J = ε σ T s 4 + 1 - α σ T v i z 4

Passo 2

Vamos agora determinar expressões para a emissividade e absortividade.

Pela eq. 12.34 do Incropera, a emissividade, ε, pode ser expressa como:

ε T s = ε 1 F ( 0 → λ c ) + ε 2 1 - F 0 → λ c

Onde, ε1 e ε2 são, respectivamente, a emissividade para um comprimento de onda abaixo do comprimento de onda de corte e a emissividade para um comprimento de onda acima do comprimento de onda de corte.

O valor de F pode ser encontrado na Tabela 12.2 do Incropera e depende da temperatura da superfície, Ts, e do comprimento de onda.

Analogamente, a absortividade pode ser determinada pela eq. 12.53 o que pode ser expressa de forma análoga para a emissividade:

α T v i z = ε 1 F ( 0 → λ c ) + ε 2 1 - F 0 → λ c

Mas, agora para a absortividade, o valor de F é determinado pela temperatura da vizinhança, Tviz.

Passo 3

Vamos encontras os valores de F para as duas temperaturas de 400 K e 600 K:

A Tviz = 400 K:

λ c T = 400 K 8   μ m = 3200   μ m   K

Assim, pela Tabela 12.2:

F ( 0 → λ c ) = 0,318102

A Ts = 600 K:

λ c T = 600 K 8   μ m = 4800   μ m   K

Assim, pela Tabela 12.2:

F ( 0 → λ c ) = 0,607559

Passo 4

Vamos agora aos cálculos para cada caso:

-Revestimento A:

Calculando a emissividade:

ε T s = ε 600   K = 0,75 ( 0,607559 ) + 0,25 1 - 0,607559

ε T s = ε 600   K = 0,55378

Calculando a absortividade:

α T v i z = α 400   K = 0,75 ( 0,318102 ) + 0,25 1 - 0,318102

α T v i z = α 400   K = 0,40905

Calculando a radiosidade:

J = 0,55378 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 600   K 4 + 1 - 0,40905 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4

J = 4927 W m 2

O fluxo de calor liquido é dado pela diferença entre a radiação refletida pela radiosidade, assim

q " l i q = G - J

Onde

G = σ T v i z 4

Assim,

q " l i q = σ T v i z 4 - J

q " l i q = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4 - 4927 W m 2

q " l i q = - 3475,6 W m 2

Passo 5

-Revestimento B:

Calculando a emissividade:

ε T s = ε 600   K = 0,25 ( 0,607559 ) + 0,75 1 - 0,607559

ε T s = ε 600   K = 0,4462

Calculando a absortividade:

α T v i z = α 400   K = 0,25 ( 0,318102 ) + 0,75 1 - 0,318102

α T v i z = α 400   K = 0,591

Calculando a radiosidade:

J = 0,4462 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 600   K 4 + 1 - 0,591 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4

J = 3872,7 W m 2

O fluxo líquido:

q " l i q = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4 - 3872,7 W m 2

q " l i q = - 2421,2 W m 2

Passo 6

-Sem Revestimento:

Calculando a emissividade:

ε T s = ε 600   K = 0,25 ( 0,607559 ) + 0,25 1 - 0,607559

ε T s = ε 600   K = 0,25

Calculando a absortividade:

α T v i z = α 400   K = 0,25 ( 0,318102 ) + 0,25 1 - 0,318102

α T v i z = α 400   K = 0,25

Calculando a radiosidade:

J = 0,25 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 600   K 4 + 1 - 0,25 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4

J = 2925,7 W m 2

O fluxo líquido:

q " l i q = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4 - 2925,7 W m 2

q " l i q = - 1474,2 W m 2

Passo 7

Agora vamos comparar os resultados e verificar qual situação de revestimento que promove o maior fluxo de calor. Analisando comparativamente, você vai ver que o maior fluxo de calor é para o revestimento A, com um fluxo de:

q " l i q = 3475,6 W m 2

Passo 8

Agora vamos determinar para o caso onde λc = 6 μm. Os cálculos serão os mesmos, modificando os valores começando pelo fator F

Analogamente,

A Tviz = 400 K:

λ c T = 400 K 6   μ m = 2400   μ m   K

Pela Tabela 12.2:

F ( 0 → λ c ) = 0,140256

A Ts = 600 K:

λ c T = 600 K 6   μ m = 3600   μ m   K

Pela Tabela 12.2:

F 0 → λ c = 0,403607

Passo 9

Para cada caso:

-Revestimento A:

Calculando a emissividade:

ε T s = ε 600   K = 0,75 ( 0,403607 ) + 0,25 1 - 0,403607

ε T s = ε 600   K = 0,452

Calculando a absortividade:

α T v i z = α 400   K = 0,75 ( 0,140256 ) + 0,25 1 - 0,140256

α T v i z = α 400   K = 0,32

Calculando a radiosidade:

J = 0,452 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 600   K 4 + 1 - 0,32 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4

J = 4306,8 W m 2

O fluxo de calor:

q " l i q = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4 - 4306,8 W m 2 = - 2855,3 W m 2

Passo 10

-Revestimento B:

Calculando a emissividade:

ε T s = ε 600   K = 0,25 ( 0,403607 ) + 0,75 1 - 0,403607

ε T s = ε 600   K = 0,548

Calculando a absortividade:

α T v i z = α 400   K = 0,25 0,140256 + 0,75 1 - 0,140256

α T v i z = α 400   K = 0,68

Calculando a radiosidade:

J = 0,548 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 600   K 4 + 1 - 0,68 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4

J = 4493 W m 2

O fluxo líquido:

q " l i q = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4 - 4493 W m 2 = - 3041,5 W m 2

Passo 11

-Sem Revestimento:

Calculando a emissividade:

ε T s = ε 600   K = 0,25 ( 0,403607 ) + 0,25 1 - 0,403607

ε T s = ε 600   K = 0,25

Calculando a absortividade:

α T v i z = α 400   K = 0,25 ( 0,140256 ) + 0,25 1 - 0,140256

α T v i z = α 400   K = 0,25

Calculando a radiosidade:

J = 0,25 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 600   K 4 + 1 - 0,25 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4

J = 2925,7 W m 2

O fluxo líquido:

q " l i q = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 400   K 4 - 2925,7 W m 2 = - 1474,2 W m 2

Passo 12

O maior fluxo de calor será para o revestimento B para um comprimento de onda de λc = 6 μm.

q " l i q = 3041,5 W m 2

Resposta

Para λc = 8 μm:

-Revestimento A:

J = 4927 W m 2

q " l i q = - 3475,6 W m 2

-Revestimento B:

J = 3873 W m 2

q " l i q = - 2421,2 W m 2

-Sem Revestimento:

J = 2925,7 W m 2

q " l i q = - 1 4 74 , 2 W m 2

Para λc = 6 μm:

-Revestimento A:

J = 4 307 W m 2

q " l i q = - 2855 W m 2

-Revestimento B:

J = 4493 W m 2

q " l i q = - 3041 , 5 W m 2

-Sem Revestimento:

J = 2925,7 W m 2

q " l i q = - 1474,2 W m 2

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