Enunciado

Considere uma superfície estendida de seção transversal retangular com transferência de calor na direção longitudinal. Nesse problema procuramos determinar condições nas quais a diferença de temperaturas transversal (direção y) no interior da superfície estendida é desprezível em comparação com a diferença de temperaturas entre a superfície e o ambiente, de tal forma que a análise unidimensional da Seção 3.6.1 seja válida.

  1. Suponha que a diferença de temperaturas transversal seja parabólica e com a forma:
  2. T y - T e ( x ) T s ( x ) - T e ( x ) = y t 2

    na qual T s ( x ) é a temperatura da superfície e T e ( x ) é a temperatura na linha central em cada ponto x. Usando a lei de Fourier, escreva uma expressão para o fluxo térmico condutivo na superfície, q ' ' y ( t ) , em termos de T s e T e .

  3. Escreva uma expressão para o fluxo térmico convectivo na superfície, na posição x. Igualando as duas expressões para o fluxo térmico condutivo e para o convectivo, identifique o parâmetro que determina a razão T e –   T s T s   –   T ∞ .
  4. Com base na análise anterior, desenvolva um critério para estabelecer a validade da hipótese unidimensional usada para modelar uma superfície estendida.

Passo 1

Vamos com tudo galerinha ??

Antes de qualquer coisa vamos ver de perto como vai ocorrer a transferência de calor na direção y:

Na superfície nós teremos um volume diferencia que está recendo calor do seu interior e perdendo calor por convecção para o exterior, certo?

Como dito na letra (a) teremos uma distribuição parabólica de temperatura:

T y - T e ( x ) T s ( x ) - T e ( x ) = y t 2

Isolando T y :

T y = T e x + T s x - T e x y 2 t 2

E agora só precisamos achar q ' ' y ( t ) em termos de T s e T e , ok?

Se q ' ' y t é uma transferência de calor por condução:

q ' ' y t = - k . ∂ T ∂ y

Derivando a equação da temperatura em função de y:

∂ T ∂ y = 2 y t 2 T s x - T e x

Substituindo ∂ T ∂ y e y = t :

q ' ' y t = - 2 t k t 2 T s x - T e x

q ' ' y t = - 2 k t T s x - T e x

Achamos nossa letra (a) !!

Passo 2

Na letra (b) nós queremos achar uma expressão para o fluxo térmico convectivo na superfície, na posição x, ok?

O calor convectivo nós já estamos carecas de saber, não é?

q ' ' c o n v = h ∆ T = h T s x - T ∞

Fazendo o balanço de massa quando y = t nós teremos que:

q ' ' y t = q ' ' c o n v

Substituindo:

h T s x - T ∞ = - 2 k t T s x - T e x

Como precisamos achar a razão T e –   T s T s   –   T ∞ :

h T s x - T ∞ = 2 k t T e x - T s x

T e ( x ) –   T s ( x ) T s ( x )   –   T ∞ = h t 2 k

Se nós reorganizarmos isso:

T e ( x ) –   T s ( x ) T s ( x )   –   T ∞ = 0,5 t k 1 h

Lembrando que:

R ' ' c o n d = t k

R ' ' c o n v = 1 h

Então:

T e ( x ) –   T s ( x ) T s ( x )   –   T ∞ = 0,5 R ' ' c o n d R ' ' c o n v

Se a razão entre as resistências é conhecida como número de Biot:

T e ( x ) –   T s ( x ) T s ( x )   –   T ∞ = 0,5 B i

Portanto a razão entre as temperaturas é determinada pelo número de Biot, legal, não foi?

Passo 3

Na letra (c) o que nós queremos?

Desenvolva um critério para estabelecer a validade da hipótese unidimensional usada para modelar uma superfície estendida, não é?!

De acordo com que acabamos de ver podemos deduzir que a diferença de temperatura transversal T e ( x ) –   T s ( x ) será desprezível em comparação com T s ( x )   –   T ∞ se nós tivermos um número B i ≪ 1 .

E quando nós temos estes valore s de Biot podemos dizer que a transferência de calor longitudinal predomina com relação a transferência de calor transversal, que será portanto negligenciado !!

Por isso, nós usaremos este critério para validar a hipótese unidimensional usada !

E fiiiim !!

Resposta

  1. q ' ' y t = - 2 k t T s x - T e x ;
  2. T e ( x ) –   T s ( x ) T s ( x )   –   T ∞ = 0,5 B i ;
  3. B i ≪ 1 .
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