Enunciado

Um bastão de metal de comprimento 2L, diâmetro D e condutividade térmica k está encravado em uma parede de um isolante perfeito, expondo a metade do seu comprimento a uma corrente de ar que se encontra a temperatura T ∞ e fornece um coeficiente convectivo h na superfície do bastão. Um campo eletromagnético induz uma geração de energia volumétrica a uma taxa uniforme q ˙ no interior da porção encravada do bastão.

  1. Deduza uma expressão para a temperatura T b na base da metade exposta do bastão, em regime estacionário. A região exposta pode ser aproximada como uma aleta muito longa.
  2. Deduza uma expressão para a temperatura T e na extremidade da metade encravada do bastão, em regime estacionário.
  1. Usando valores numéricos fornecidos no esquema, represente graficamente a distribuição de temperaturas no bastão e descreva características importantes desta distribuição. O bastão se comporta como uma aleta muito longa?

Passo 1

Eu sei que vocês estão cansados, mas respirem fundo e vamos seguindo !!

Como nós temos uma taxa uniforme de calor sendo transmitido para aleta:

q x = q a l e t a

Se considerarmos que ela se comporta como aleta infinita, podemos olhar na Tabela 3.4:

Sendo assim:

q x = q a l e t a = M = θ b h P k A

Substituindo θ b :

q x = ( T b - T ∞ ) h P k A

A taxa de transferência também pode ser escrita como:

q x = q ˙ A L

Substituindo:

q ˙ A L = ( T b - T ∞ ) h P k A

T b = T ∞ + q ˙ L A h P k

Passo 2

Na letra (b) nós precisamos achar a temperatura na base T e . Como estamos falando da parte isolada e teremos uma transferência de calor unidimensional e uniforme.

Usando a distribuição da temperatura para estes casos, dado pelo livro laaaa na Equação 3.47:

T ( x ) = T b + q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2

A temperatura quando x = 0 :

T e = T b + q ˙ L 2 2 k

Já finalizamos mais uma letra e bora continuar !!

Passo 3

Na letra (c) nós temos que:

L = 5 0   m m = 0,05   m

D = 5   m m = 0,00 5   m

k   =   25 W m K

h = 1 00 W m 2 K

q ˙   =   1 × 10 6 W m 3

T ∞ = 2 0 ° C + 273 = 293   K

Calculando T b com ajuda do Passo 1:

T b = T ∞ + q ˙ L π D 2 4 π D h k

Substituindo:

T b = 293   K + 1 × 10 6 W m 3 0,0 5   m π 0,005   m 2 4 π 0,005   m 100 W m 2 K 25 W m K

T b = 328,35   K

Em graus Celsius:

T b = 55,35 ° C

Agora podemos achar T e usando a fórmula do Passo 2:

T e = 328,35   K + 1 × 10 6 W m 3 0,05   m 2 2 25 W m K

T e = 3 7 8,35   K

Em graus Celsius:

T e = 105 , 35 ° C

Já obtemos os valores, certo?

Agora precisamos plotar no gráfico, mas como?

Vamos analisar, na parte isolada - L ≤ x ≤ 0 a temperatura terá uma função parabólica, como vimos no Passo 2.

De acordo com a Tabela 3.4 a distribuição da temperatura para o intervalo 0 ≤ x ≤ L é exponencial.

Se já sabemos como as duas funções se comportam podemos ter uma ideia de como o gráfico ficaria, mas lançando os dados no Excel, por exemplo, podemos ver melhor:

E fechamos mais uma com chave de ouro !!

Resposta

  1. T b = T ∞ + q ˙ L A h P k ;
  2. T e = T b + q ˙ L 2 2 k ;
  3. T b = 55,35 ° C     |     T e = 105,35 ° C .
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