Enunciado

Água a 15 ℃ é aquecida ao passar dentro de tubos de cobre de parede fina de 2   c m de diâmetro. O calor é fornecido para a água por meio de vapor que condensa fora dos tubos de cobre em 120 ℃ . Considerando que a água deve ser aquecida a 65 ℃ a uma taxa de 0,2   k g / s . determine a o comprimento do tubo de cobre necessário e b a potência de bombeamento necessária para superar perdas de pressão. Suponha que todo o tubo de cobre está na temperatura do vapor 120 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos:

Temperatura de entrada da água: T i = 15 ℃  

Temperatura da superfície do tubo: T s = 120 ℃  

Temperatura de saída da água: T e = 65 ℃  

Temperatura dos condensados ​​de vapor: = 120 ℃   

Diâmetro do tubo de cobre: D = 2   c m = 0,02   m  

Taxa de fluxo de massa: m ˙ = 0,2   k g / s  

Vamos calcular a temperatura média da água para obter as suas propriedades. Assim temos:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída da água. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 65 ℃ + 15 ℃ 2

T m é d i a = 40 ℃

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades da água em  40 ℃ a 1   a t m na Tab. A-9.

Condutividade térmica: k = 0,631   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,653 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 4179   J / k g ⋅ K  

Densidade da água: ρ = 992,1   k g / m 3  

Número e Prandtl: P r = 4,32

Passo 2

a) Agora, vamos calculando o diâmetro hidráulico do tubo circular. Assim temos:

D h = 4 A c p

Aqui,  D h é o diâmetro hidráulico,  A c é a área da seção transversal do duto e p  é o perímetro do duto. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

D h = 4 π D / 2 2 2 π D / 2

D h = D

D h = 0,02   m

Podemos calcular a velocidade média do fluxo com a seguinte expressão:

V m é d i a = m ˙ ρ A c

V m é d i a = 4 m ˙ ρ π D 2

Aqui, m ˙ é o fluxo mássico, A c é a área da seção transversal, ρ é a densidade e V m é d i a é a velocidade média.

Com a velocidade média podemos calcular o número de Reynolds. Assim temos:

R e = ρ V m é d i a D h μ

Substituindo a velocidade média, temos:

R e = 4 m ˙ ρ D h μ ρ π D 2

R e = 4 m ˙ μ π D

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

R e = 4 × 0,2   k g / s   0,653 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × π × 0,02   m  

R e = 19.498,31

Como o número de Reynolds obtido é superior a 10.000 , o fluxo é turbulento.

Passo 3

Vamos agora calcular os comprimentos de entrada. Assim temos:

L h ≈ L t ≈ 10 D

= 10 × 0,02   m

= 0,2   m

Como os comprimentos de entrada são menores, o fluxo é um fluxo turbulento totalmente desenvolvido. Podemos calcular o número de Nusselt usando a relação de Dittus-Boelter. Assim temos:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,4

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

N u = 0,023 × 19498,31 0,8 4,32 0,4

N u = 111,665

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h D h k

h = N u k D h

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 111,665 × 0,631   W / m ⋅ K     0,02   m

h = 3523,04   W / m 2 ⋅ K

Passo 4

Podemos calcular o calor total necessário para elevar a temperatura de  15 ℃ para  65 ℃ com a seguinte expressão:

Q t = m ˙ c p T e - T i

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q t = 0,2   k g / s × 4179   J / k g ⋅ K 65 ℃ - 15 ℃

Q t = 41790   W

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença logarítmica da temperatura média. Assim temos:

∆ T l m = T i - T e ln ⁡ T s - T e T s - T i

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

∆ T l m = 15 ℃ - 65 ℃ ln ⁡ 120 ℃ - 65 ℃ 120 ℃ - 15 ℃

∆ T l m = 77,32

Agora, usando a relação da taxa de transferência de calor para encontrar o comprimento do tubo. Assim temos:

Q ˙ = h A s ∆ T l m

Q ˙ = h π D L ∆ T l m

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrado nos cálculos acima, temos:

Q ˙ = 3523,04   W / m 2 ⋅ K × π × 0,02   m × L × 77,32

Q ˙ = 17116,47   W / m × L

Temos as taxas de transferência de calor Q t e Q ˙ são iguais, assim, podemos substituir na equação acima.

41790   W = 17116,47   W / m × L

L = 2,44   m

Passo 6

b) Podemos calcular o fator de atrito usando a seguinte relação:

f = 0,184 R e - 0,2

Substituindo os termos da equação pelos dados encontrados nos cálculos acima, temos:

f = 0,184 19.498,31 - 0,2

f = 0,0255

A perda de pressão pode ser calculada se seguinte forma:

∆ p = f L D ρ V m é d i a 2 2

∆ p = f L D ρ 2 4 m ˙ ρ π D 2 2

∆ p = f L D 8 ρ m ˙ π D 2 2

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrado nos cálculos acima, temos:

∆ p = 0,0255 × 2,44   m 0,02   m × 8 992,1   k g / m 3 × 0,2   k g / s   π 0,02   m 2 2

∆ p = 636,24   P a

Passo 7

Portanto, a potência necessária para superar perdas de pressão é a seguinte:

w p = V ∆ p

w p = m ˙ ρ ∆ p

Aqui, V é o volume, ∆ p é perda de carga. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos e encontrado nos cálculos acima, temos:

w p = 0,2   k g / s   992,1   k g / m 3 636,24   P a

w p = 0,128   W

Portanto, a energia necessária para superar as perdas de pressão é  0,128   W .

Resposta

a) L = 2,44   m

b) w p = 0,128   W

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