Enunciado

Alguns manômetros são construídos como na Figura PA2.1, em que um lado é um grande reservatório (diâmetro D ) e o outro lado é um pequeno tubo de diâmetro d , aberto para a atmosfera. Em um caso assim, a altura do líquido manométrico no lado do reservatório não muda apreciavelmente. Isso tem a vantagem de que somente uma altura precisa ser medida, não duas. O líquido manométrico tem massa específica ρ m , enquanto o ar tem massa específica ρ a . Ignore os efeitos da tensão superficial. Quando não há diferença de pressão no manômetro, as elevações em ambos os lados são as mesmas, o que é indicado pela linha tracejada. A altura h é medida com base no nível de pressão zero, como mostra a figura.

  1. Quando é aplicada uma alta pressão ao lado esquerdo, o líquido manométrico do reservatório desce, enquanto o líquido no tubo sobe para conservar a massa. Escreva uma equação exata para p 1 m a n , levando em conta o movimento da superfície do reservatório. A sua equação deverá fornecer p 1 m a n em função de h ,   ρ m e os parâmetros físicos o problema, h ,   d ,   D   e a constante da gravidade g .
  2. Escreva uma expressão aproximada para p 1 m a n , desprezando a alteração na elevação da superfície do reservatório de líquido.
  3. Considere h = 0,26 m em uma certa aplicação. Se p a = 101 k P a   e o líquido manométrico tiver uma massa específica de 820 k g / m 3 , calcule a razão D / d requerida para manter o erro da aproximação da parte (b) dentro de 1 % da medida exata da parte ( a ) . Repita para um erro dentro de 0,1 % .

Passo 1

Ufa! Terminou de ler o enunciado aí?? Ahahaaha

Enfim, parece questão de Enem mas não. Mas vamos juntos.

Bom, você já deve ter se acostumado a ver esses tubo e pensar “a pressão aqui é igual aqui e é isso”. Certo?

E é isso mesmo, tudo que o exercício quer é a pressão p 1 ali, que deve ser igual a pressão no tubo menor. Para tanto vamos chamar a altura de p 1 até a linha tracejada (nível de pressão zero) de H .

Ok então, podemos chegar no seguinte:

p 1 = ρ m g H + h + p a

Tá comigo?!

Mas pouxa vida, o exercício não quer esse H na resposta, então precisamos lembrar que o volume de líquido deslocado, ou seja, aquele volume que desce uma altura H no reservatório deve ser igual ao volume que sobe h no tubo menor. Portanto:

π D 2 4 H = π d 2 4 h

Simples, não?

H = d 2 D 2 h

Passo 2

Devolvendo isso na nossa equação:

p 1 = ρ m g h d 2 D 2 + 1 + p a

Mas o exercício quer p 1 m a n né?! Isso! Então a pressão manométrica será a pressão no ponto menos a pressão atmosférica:

p 1 - p a = p 1 m a n = ρ m g h d 2 D 2 + 1

Show de bola! Essa foi a nossa imensa alternativa (a).

Já a alternativa (b) ele quer que a gente desconsidere aquele H . Fica muito mais fácil então:

p 1   m a n = ρ m g h

Tá tranquilo por enquanto né?!

Mas pense bem, no porquê do exercício mandar a gente desconsiderar esse H ... Ele faz isso pq na letra (a) temos uma expressão exata para p 1 m a n enquanto que na (b) a gente faz uma aproximação, desconsiderando essa variação no reservatório. Naturalmente, quanto maior o revervatório, menos variação teremos nessa altura, até que ela se torna desprezível.

Passo 3

A ideia agora na alternativa (c) é justamente ver quanto essa aproximação é boa. Pra isso a gente só precisa dos diâmetros desses caras, e jogar na fórmula do Erro:

E r r o = p 1 a p r o x - p 1 e x a t a p 1 e x a t a  

Mas em vez de calcular esses valores, você pode só fazer uma brincadeira com as fórmulas já encontradas:

E = ρ m g h - ρ m g h d 2 D 2 + 1 ρ m g h d 2 D 2 + 1

Naturalmente, podemos cancelar tudo aquilo que é comum:

E = 1 - d 2 D 2 + 1 d 2 D 2 + 1 = d 2 D 2 d 2 D 2 + 1

Se você brincar um pouquinho com essa fórmula, podemos chegar na relação pedida:

D d = 1 - E E  

Então, a razão requerida para manter o E r r o < 1 % será:

D d = 1 - 0,01 0,01 = 9,95

E para um erro de 0,1 % :

D d = 1 - 0,0 0 1 0,0 0 1 = 31,61

Um bocado assuatador, mas bem tranquilo né?! Até a próxima!

Resposta

Portanto:

  1. p 1 m a n = ρ m g h d 2 D 2 + 1
  2. p 1   m a n = ρ m g h
  3. D d ≥ 9,95 para E < 1 % e D d ≥ 31,61 para E < 0,1 %
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