Enunciado

Repita o Problema 9 - 92 invertendo as paredes estacionária e móvel. Particularmente, faça a parede interna estacionária e a parede do tubo externo se movendo a uma velocidade constante V para a direita, todas as demais condições permanecendo as mesmas. Encontre uma expressão para a componente u da velocidade como uma função de r e dos outros parâmetros do problema.

Passo 1

Vamos começar retomando o Problema 9 - 92 . Nossa situação era a seguinte:

Tínhamos um líquido de propriedades constantes ( ρ ,   μ ) escoando no espaço entre dois cilindros. Não havia gradiente de pressão ou ação da força da gravidade, de foma que o líquido escoava apenas devido ao cilindro interno ter velocidade V na direção x . Tudo bem até aqui?

O que o exercício propõe é que agora o cilindro externo tem velocidade V e o cilindro interno está parado. Ou seja:

Devemos obter o perfil de velocidades para esta nova condição. Vamos lá?

Passo 2

O primeiro passo para chegar ao perfil de velocidade será aplicar a equação da continuidade para coordenadas cilíndricas:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r r ρ u r + 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ + ∂ ∂ x ρ u = 0

Considerando que estamos em regime estacionário e que apenas a componente u da velocidade é não-nula:

∂ ρ ∂ t = 0 ;

u r = 0 → 1 r ∂ ∂ r r ρ u r = 0 ;

u θ = 0 → 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ

Assim, a equação da continuidade se reduz à:

∂ ∂ x ρ u = 0

ρ ∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ x = 0

Então, podemos concluir que a velocidade u não depende da direção x . Ou, de forma equivalente podemos dizer que:

u = u r

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidades será aplicar a equação de Navier-Stokes para esta situação.

Passo 3

Como só temos escoamento na direção x , iremos aplicar a equação de Navier-Stokes para esta componente:

ρ ∂ u ∂ t + u r ∂ u ∂ r + u θ r ∂ u ∂ θ + u ∂ u ∂ x = - ∂ P ∂ x + ρ g x + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 + ∂ 2 u ∂ x 2

Vamos agora olhar os termos do lado esquerdo da equação.

Sabemos que o processo ocorre em regime permanente. Além disso, as componentes de velocidade u r e u θ são nulas e, pela equação da continuidade vimos que u = u ( r ) . Então,

∂ u ∂ t = 0 ;

u r = 0 → u r ∂ u ∂ r = 0 ;

u θ = 0 → u θ r ∂ u ∂ θ = 0 ;

∂ u ∂ x = 0 → u ∂ u ∂ x = 0

Então, o lado esquerdo da equação se reduz à:

ρ 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora verificar os termos do lado direito.

Para esta situação, não temos gradiente de pressão e podemos desprezar a ação da força gravitacional. Além disso, vimos pela equação da continuidade que u = u ( r ) . Assim:

∂ P ∂ x = 0 ;

ρ g x = 0 ;

∂ 2 u ∂ θ 2 = 0 → 1 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0 ;

∂ 2 u ∂ x 2 = 0

E a equação de Navier-Stokes fica:

0 = 0 + 0 + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r + 0 + 0

μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r = 0

∂ ∂ r r ∂ u ∂ r = 0

Passo 4

Como a derivada em relação à r é nula podemos dizer que:

r ∂ u ∂ r = C 1

Em que C 1 é uma constante. Continuando:

∂ u ∂ r = C 1 r

Integrando os dois lados da equação em relação à ∂ r :

∫ ∂ u ∂ r ∂ r = ∫ C 1 r ∂ r

u = C 1 ln ⁡ r + C 2

Para obter as constantes C 1 e C 2 vamos aplicar as condições de contorno para o problema. Pelo princípio da aderência sabemos que u f l u i d o = u s u p e r f í c i e . Então, nossas condições de contorno são:

u r = R i = 0

u r = R o = V

Passo 5

Aplicando estas condições no perfil de velocidade:

0 = C 1 ln ⁡ R i + C 2

V = C 1 ln ⁡ R o + C 2

Subtraindo a primeira equação da segunda:

V - 0 = C 1 ln ⁡ R o - ln ⁡ R i + C 2 - C 2

V = C 1 ln ⁡ R o R i

C 1 = V ln ⁡ R o R i

Substituindo C 1 na primeira relação:

0 = V ln ⁡ R o R i ln ⁡ R i + C 2

C 2 = - V ln ⁡ R o R i ln ⁡ R i

Aplicando as constantes no perfil ficamos com:

u = V ln ⁡ R o R i ln ⁡ r - V ln ⁡ R o R i ln ⁡ R i

u = V ln ⁡ r R i ln ⁡ R o R i

Resposta

O perfil de velocidades para este caso é:

u = V ln ⁡ r R i ln ⁡ R o R i

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