Enunciado

Um fluido incompressível de viscosidade desprezível é bombeado com uma vazão volumétrica total Q por uma superfície porosa para o interior de uma pequena fresta entre placas paralelas estreitamente espaçadas, conforme mostrado. O fluido tem apenas movimento horizontal dentro da fresta. Considere escoamento uniforme através de qualquer seção vertical. Obtenha uma expressão para a variação de pressão como uma função de x . Sugestão: Aplique a equação da conservação da massa e a equação da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial de espessura d x , localizado na posição x .

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício ilustrando o problema e desenhando o volume de controle conforme pedido no enunciado:

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade para o sistema, nesse caso, teremos:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse caso, aplicando para o volume de controle desenhado, sabendo que o escoamento se dá em regime permanente, então podemos cancelar a derivada no tempo, temos:

0 = - ρ V w h + - ρ Q w d x w L + [ ρ V + d V w h ]

Então, podemos cancelar o termo ρ V w h que aparece duas vezes e com sinal oposto, podemos também dividir os dois lados da equação por ρ , então, ficamos com:

0 = - Q d x L + d V w h → w h d V = Q d x L

Então, integrando essa expressão de maneira indefinida, temos:

∫ w h d V = ∫ Q d x L → w h V = Q x L + C

Para obter o valor da constante C , podemos assumir que em x = 0 → V = 0 , então, dessa forma:

w h 0 = Q 0 L + C → C = 0

E a equação da velocidade em função de x se torna:

V = Q x w h L

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação 4.18a apresentada nessa seção do equilíbrio de momento, para o volume de controle do passo 1:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Como o escoamento se dá em regime permanente, então a derivada no tempo será zero, e como não temos força de campo atuando na direção x , então F B x = 0 , dessa forma, a equação se torna:

p w h - p + d p w h = u 1 - ρ V w h + u 2 - ρ Q w d x w h + u 3 ρ V + d V w h

E, nesse caso, temos u 1 = V , u 2 = 0 e u 3 = V + d V , então, substituindo os valores conhecidos:

p w h - p + d p w h = - ρ V 2 w h + ( V + d V ) ρ V + d V w h

No entanto, como vimos no passo 1 através da continuidade, temos:

V + d V w h = V w h + Q d x L

Então, substituindo essa exressão na equação anterior, temos:

p w h - p + d p w h = - ρ V 2 w h + V + d V ρ V w h + Q d x L

O termo ρ V 2 w h aparece duas vezes do lado direito com o sinal trocado, da mesma forma que o termo p w h do lado esquerdo, então, simplificando a expressão, temos:

- d p w h = ρ V d V w h + ρ V Q d x L + ρ Q d x d V L

Sabemos que a multiplicação entre dois infinitesiais, nesse caso, d x e d V dá um número muito pequeno, que podemos desprezar, então, a equação acima se torna:

- d p w h = ρ V d V w h + ρ V Q d x L

Passo 3

Agora, vamos isolar d p da equação obtida no passo 2, então, temos:

- d p = ρ V d V + ρ V Q d x L w h

E, conforme vimos através da equação de continuidade do passo 1, temos que:

d V = Q d x L w h

E que a velocidade será:

V = Q x L w h

Então, substituindo essas expressões na equação anterior, temos:

- d p = ρ Q x L w h Q d x L w h + ρ Q x L w h Q d x L w h → d p = - 2 ρ Q 2 x d x L 2 w 2 h 2

Agora, integrando essa equação de maneira indefinida, temos:

∫ d p = ∫ - 2 ρ Q 2 x d x L 2 w 2 h 2 → p = - ρ Q 2 x 2 L 2 w 2 h 2 + C

Para encontrar a constante C , vamos adotar que, em x = 0 → p = 0 , dessa forma, temos:

0 = - 0 + C → C = 0

Dessa forma, a a variação de pressão em função de x será dada por:

p = - ρ Q 2 x 2 L 2 w 2 h 2

Resposta

p = - ρ Q 2 x 2 L 2 w 2 h 2

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