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Ar de resfriamento é suprido através do canal largo e plano mostrado. Para o mínimo de ruído e perturbação do fluxo de saída, camadas limites laminares devem ser mantidas sobre as paredes do canal. Estime a máxima velocidade do escoamento na entrada para a qual o escoamento de saída será laminar. Considerando perfis de velocidade parabólicos nas camadas limite laminares, avalie a queda de pressão, p 1 - p 2 .   Expresse a sua resposta em polegadas de água.

Passo 1

Listinha do que a gente precisa fazer:

- achar a velocidade máxima na entrada para o escoamento continuar laminar na saída

- achar p 1 - p 2 em polegadas de água

Dados:

- altura do tubo: h = 15   c m = 0,15   m

- comprimento do tubo: L = 3   m

- considerando ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

- perfil parabólico:

u U = 2 y δ - y δ 2

Nesse perfil, vale que:

δ x = 5,48 R e x

E a gente sabe que a escoamento deixa de ser laminar quando ultrapassa:

R e c r í t i c o = ρ U x μ = 5 ⋅ 10 5

Vamos começar!

Passo 2

A gente tem que:

R e c r í t i c o = ρ U x μ = 5 ⋅ 10 5

Precisamos que isso aconteça na saída do tubo. Então x = L . Depois, substituindo os dados do problema e isolando U , temos que:

U m á x = U 1 = 2,50   m / s

Passo 3

Vamos precisar achar a variação de pressão, para isso a gente precisa da velocidade no fim do tubo. Vamos usar a conservação da massa:

A 1 U 1 = A 2 U 2

Só que A 2 é área onde temos escoamento uniforme, ou seja, fora da camada limite. Então a gente pode escrever (sendo b a largura do tubo):

b h U 1 = b h - 2 δ 2 * U 2

Como o canal é largo, só consideramos camadas nas paredes de cima e de baixo.

Isolando U 2 :

U 2 = h U 1 h - 2 δ 2 *

Tá, mas quem é δ 2 * ?

Passo 4

A gente pode achar δ 2 substituindo os dados do problema e U 1 aqui:

δ 2 L = 5,48 R e L

Achamos que:

δ 2 = 0,0232   m

Pela definição de δ * para o perfil parabólico, a gente tira que:

u U = 2 y δ - y δ 2

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y = δ 3

Então:

δ 2 * = 0,00775   m

Substituindo tudo o que a gente tem aqui:

U 2 = h U 1 h - 2 δ 2 *

U 2 = 2,79   m / s

Passo 5

Agora é só usar Bernoulli para achar a variação de pressão:

p 1 ρ + U 1 2 2 = p 2 ρ + U 2 2 2 ∴ p 1 - p 2 = ρ 2 U 2 2 - U 1 2

p 1 - p 2 = 0,922   P a

Transformando em polegadas de água:

Δ p = g ρ á g u a Δ h

Sabendo que ρ á g u a = 1000 k g / m 3 , e substituindo os dados que a gente tem:

Δ h = 0,0 940   m m = 0,0370   i n

Resposta

U 1 = 2,5   m / s

Δ h = 0,0940   m m = 0,0370   i n

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