Enunciado

Um pequeno túnel de vento em um laboratório de graduação tem seção de teste quadrada com lado de 305   m m . Medições mostram que as camadas limite sobre as paredes do túnel são completamente turbulentas e bem representadas por perfis de potência 1 / 7 . Na seção transversal (1), com velocidade de corrente livre U 1 = 26,1   m / s , dados mostram que δ 1 = 12,2   m m ; na seção (2) localizada a jusante, δ 2 = 16 ,   6   m m . Avalie a variação na pressão estática entre as seções (1) e (2). Estime a distância entre as seções.

Passo 1

Vamos listar o que a gente precisa fazer:

- Precisamos avaliar a variação de pressão: p 2 - p 1

- Estimar a distância entre (1) e (2)

E enunciado dá umas informações para gente:

- velocidade de corrente livre: U 1 = 26,1   m / s

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

- largura e altura em (1): b =     h   = 0,305   m

- expessuras da camada limite: δ 1 = 12,2   m m ,   δ 2 = 16,6   m m

- escoamento turbulento de potência 1 / 7 :

u U = y δ 1 7

Vamo começar!

Passo 2

Usando a conservação de massa:

ρ A 1 U 1 = ρ A 2 U 2

Só que essas áreas são as regiões da seção onde consideramos a velocidade uniforme, isso não acontece dentro das camadas limites. Então, podemos reescrever:

A 1 = ( h - 2 δ 1 * ) b - 2 δ 1 * ,             A 2 = ( h - 2 δ 2 * ) ( b - 2 δ 2 * )

Se liga que a gente usou δ * porque estamos no contexto de vazão.

Voltando a conservação:

ρ A 1 U 1 = ρ A 2 U 2

h - 2 δ 1 * b - 2 δ 1 * U 1 = h - 2 δ 2 * b - 2 δ 2 * U 2

Isolando U 2 :

U 2 = U 1 ( h - 2 δ 1 * ) b - 2 δ 1 * h - 2 δ 2 * b - 2 δ 2 *  

Passo 3

Usando a definição de δ * para esse perfil de velocidade:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

u U = y δ 1 7

Vemos que:

δ * = δ 8

Substituindo isso na nossa expressão:

U 2 = U 1 h - 2 δ 1 8 b - 2 δ 1 8 h - 2   δ 2 8 b - 2 δ 2 8  

Passo 4

Podemos aplicar a equação nesse problema porque assumimos um fluído em escoamento permanente, incompressível, que apenas sofre atrito dentro das camadas limite. Sendo assim, podemos aplicar a equação na região fora das camadas.

Essa é a carinha da equação de Bernoulli:

p 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

As alturas são iguais, então a gente tem que:

p 1 ρ + U 1 2 2 = p 2 ρ + U 2 2 2 ∴ p 2 - p 1 = ρ U 1 2 2 - U 2 2 2

Mas gente viu que:

U 2 = U 1 h - 2 δ 1 8 b - 2 δ 1 8 h - 2   δ 2 8 b - 2 δ 2 8  

Então a gente só precisa substituir os dados do problema:

p 2 - p 1 = - 6,06   P a

Passo 5

Para estimar o comprimento entre (1) e (6), a gente pode estimar o comprimento equivalente da placa plana equivalente para chegar δ 1 e a δ 2 , e depois fazer a diferença entre eles.

δ x = 0,382 R e x 1 5

Fazendo x = L 1 e isolando L 1 :

L 1 = δ 1 0,382 5 4 U 1 ρ μ 1 4 = 0,49 1   m

L 2 = δ 2 0,382 5 4 U 2 ρ μ 1 4 = 0,72 2   m

L 1 - 2 = L 2 - L 1 = 0,23 1   m

Resposta

p 2 - p 1 = - 6,06   P a

L 1 - 2 = 0,231   m

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