Enunciado

Um arranjo de elementos de aquecimento elétrico é usado no duto de um aquecedor no ar como mostrado na Fig. P7-109. Cada elemento tem um comprimento de 200 mm e temperatura uniforme de 350 °C. O ar atmosférico entra no aquecedor a uma velocidade de 8 m/s e na temperatura de 25 °C. Determine a taxa total de transferência de calor e a temperatura do ar que sai do aquecedor. Despreze a mudança das propriedades do ar como resultado da mudança de temperatura através do aquecedor.

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de escoamento em regime permanente em um banco de tubos em linha. O nosso objetivo é determinar a taxa de transferência de calor e a temperatura do ar de saída.

Para determinarmos ambos os valores, vamos precisar do coeficiente de transferência de calor h . E aqui que mora o problema da questão.

Como já estamos acostumados, sabemos que vamos ter de calcular o número de Nusselt, e para isto precisaremos do número de Reynolds e de Prandt (consequentemente, uma série de propriedades do ar).

A questão é essas propriedades. Elas são obtidas na temperatura média entre a entrada e a saída do ar. Mas calma, nós não queremos a temperatura de saída do ar?

E agora? O que fazer?

Então, esta é uma questão iterativa. Precisamos supor um valor para a temperatura de saída e no final vamos checar se obtemos algo próximo. Se estiver longe, então, temos que repetir toda a análise.....

Portanto, vamos assumir uma temperatura de saída de 45 °C (o ar não é um bom condutor de calor, temos poucas fontes de calor, é uma aproximação considerável). Portanto, a temperatura média é:

T m = 45 + 25 2 = 35   ° C

Já para facilitar a nossa vida, vamos obter as várias propriedades do ar que precisaremos para o andamento da questão.

A partir da tabela A-15, para a temperatura média, temos: ν = 1,655 ⋅ 10 - 5   m 2 / s , k = 0,02625   W / m ⋅ K , P r = 0,7268 , ρ = 1,145   k g / m 3 e c p = 1,007   k J / k g ⋅ K . Já para a temperatura de 350 °C, temos P r s = 0,6937 .

Passo 2

Bom, o primeiro passo foi bem grande por causa das considerações necessárias para o problema. Agora, podemos partir em si para as contas.

Nosso primeiro foco é determinarmos o coeficiente h . Portanto, começaremos determinando a velocidade máxima do ar. Logo,

V m á x = S T S T - D V = 0,024 0,024 - 0,012 8

V m á x = 16   m / s

Calculando o número de Reynolds, temos:

R e D = V m á x D ν = 16 ⋅ 0,012 1,655 ⋅ 10 - 5 = 1,16 ⋅ 10 4

Com este número de Reynolds, podemos ir na tabela 7-2 obter a correlação do número de Nusselt para um arranjo em linha. Então, temos:

N u D = 0,27 ⋅ R e D 0,63 ⋅ P r 0,36 ⋅ P r / P r s 0,25

N u D = 0,27 ⋅ 1,16 ⋅ 10 4 0,63 ⋅ 0,7268 0,36 ⋅ 0,7268 / 0 , 6937 0,25

N u D = 88,5

Mas calma lá. O problema do número de Nusselt que calculamos anteriormente é porque ele relaciona bancos de tubos com 16 ou mais linhas. Como o nosso só tem 3 linhas, vamos na tabela 7-3 obter um fator de correção F = 0,86 . Portanto, o nosso número de Nusselt é:

N u D , N L = F ⋅ N u D = 0,86 ⋅ 88,5 = 76,1

Finalizando esta parte, o coeficiente de transferência de calor é:

h = N u D , N L ⋅ k D = 76,1 ⋅ 0,02625 0,012 = 166,5   W / m 2 ⋅ K

Passo 3

Após calcularmos o coeficiente de transferência de calor h , já podemos partir para obter a primeira resposta da questão em si, que é a temperatura de saída do ar.

Para isto, vamos determinar a área de superfície de transferência de calor e a vazão mássica do ar. Portanto, temos:

A s = N π D L = 12 ⋅ π ⋅ 0,012 ⋅ 0,2 = 0,0905   m 2

m ˙ = ρ V N T S T L = 1,145 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 0,024 ⋅ 0,2 = 0,176   k g / s

Portanto, a temperatura de saída do ar é:

T e = T s - T s - T i e - A s h m ˙ c p

T e = 350 - 350 - 25 e - 0,0905 ⋅ 166,5 0,176 ⋅ 1007

T e = 51,5   ° C

Bom, o valor foi próximo do que supomos no início da questão (45 °C). O que poderíamos fazer é repetir toda a questão com este valor de saída (recalcular a temperatura média, todos os parâmetros e etc), e assim verificarmos o novo valor de saída.

Entretanto, como o valor obtido foi próximo, vamos assumir que este é o valor de saída, e assim resolvemos uma parte da questão!

Passo 4

Para finalizarmos a questão, precisamos determinar a taxa de transferência de calor. Para isto, precisamos determinar primeiramente a diferença de temperatura logarítmica. Portanto,

Δ T l m = T s - T i - T s - T e ln ⁡ T s - T i T s - T e

Δ T l m = 350 - 25 - 350 - 51,5 ln ⁡ 350 - 25 350 - 51,5 = 26,5 ln ⁡ 3 25 298,5 = 311,6   ° C

Logo, a taxa de transferência de calor é:

Q ˙ = h A s Δ T l m = 166,5 ⋅ 0,0905 ⋅ 311,6 = 4,69   k W

Finalizando então a nossa questão!

Resposta

A temperatura de saída do ar é:

T e = 51,5   ° C

A taxa de transferência de calor é:

Q ˙ = 4 , 69   k W

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