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63 - Considere duas aletas planas muito longas com seção transversal constante, como mostrado na Figura 3.17. A aleta retangular tem dimensões t = 1   m m e w = 20   m m . O pino circular tem a mesma seção transversal da aleta retangular. As duas aletas são construídas em alumínio com k = 237   W / ( m · K ) . Em ambos os casos, a temperatura da base é T b =   85 ℃ . O escoamento do ar é direcionado como mostrado na figura, com T ∞ =   20 ℃   e u ∞ = 5   m / s .

(a) Calcule a perda de calor por cada aleta. Suponha que o coeficiente de transferência de calor nas arestas da aleta retangular seja igual ao valor médio nas superfícies superior e inferior.

(b) Que diâmetro da aleta cilíndrica seria necessário para fornecer a mesma taxa de transferência de calor na aleta que é fornecida pela aleta com seção transversal retangular.

Passo 1

Antes de começar, precisamos calcular a temperatura de filme com a seguinte fórmula:

T f = T s + T ∞ 2

= 85 + 20 2

= 52,5   ℃ = 325   K

Na Tabela A.4 (Propriedades termo físicas dos gases à pressão atmosférica), são as seguintes as propriedades do ar em  T + 325   K e 1   a t m .

A viscosidade cinemática do ar é:

v = 18,4 × 10 - 6   m 2 / s

A condutividade térmica do ar é:

k = 0,0282   W / m ⋅ K

O prandtl é:

P r = 0,704

Passo 2

  1. Para uma aleta retangular:

Calcule o número de Reynolds usando a seguinte fórmula.

R e W = u ∞ w v

Aqui,  R e W é o número de Reynolds, u ∞ é a velocidade do fluxo, w é a largura da aleta, v é a viscosidade cinemática.

R e w = 5 m s × 20 × 10 - 3   m 18,4 × 10 - 6 m 2 / s

= 5435

Passo 3

Calcule o coeficiente médio de transferência de calor por convecção usando a seguinte fórmula:

h = k w 0,664   R e w 1 2 P r 1 / 3

Aqui,  h é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção,  k é a condutividade térmica e D é o diâmetro.

h = 0,0282   W / m ⋅ K 20 × 10 - 3 0,664 × 5435 1 2 0,704 1 3

= 61,4   W / m 2 ⋅ K

Passo 4

O perímetro da aleta é dado por:

P = 2 ( w + t )

Aqui, w é a largura e t a espessura.

P = 2 ( 0,002 + 0,001 )

= 0,0042   m

A área da secção transversal e dada por:

A c = w t

= 0,002 × 0,001

= 20 × 10 - 6   m 2

Passo 5

Calcule o parâmetro da aleta usando a seguinte fórmula:

M = h P k A c ⋅ θ b

Aqui,  M é o parâmetro da aleta, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção local, P o perímetro, k é a condutividade térmica da transferência de calor,  A c é a área da aleta e  θ b é a diferença de temperatura.

M = 61,4 × 0,0042 × 237 × 20 × 10 - 6 × ( 85 - 20 )

= 7,19   W

Para uma aleta retangular infinita, o parâmetro aleta é igual à perda de calor dela. Portanto:

q f = M = 7,19   W

Assim, a perda de calor da aleta retangular é  7,19   W .

Passo 6

Para a aleta do cilindro:

Calcule o diâmetro usando a seguinte fórmula:

D = 4 π   t w

= 4 π × 0,001 × 0,002

= 0,00505   m = 5,05   m m

Passo 7

Calcule o número de Reynolds usando a seguinte fórmula:

R e D = V D v

Aqui, R e D é o número de Reynolds,  V é o fluxo de velocidade,  D é o diâmetro, v é a viscosidade cinemática.

= 5 × 5,05 × 10 - 3 18,4 × 10 - 6

= 1372

Passo 8

Como o produto do número de Prandtl e do número de Reynolds são maiores que  0,2 , considere a correlação de Churchill e Bernstein para calcular o número de Nusselt.

N u = 0,3 + 0,62 R e 0,5 Pr ⁡   1 3   1 + 0,4 P r 2 3 1 / 4 1 + R e 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 0,62 ( 1372 ) 0,5 ( 0,7 04 ) ⁡   1 3   1 + 0,4 0,7 04 2 3 1 / 4 1 + 1372 282000 5 8 4 / 5

= 18,7

Passo 9

Agora podemos calcular o coeficiente de convecção:

h = N u D × k D

= 18,7 × 0,02 82 5,05 × 10 - 3

= 104,4   W / m 2 K

Passo 10

Agora vamos calcular o perímetro da aleta cilíndrica pela seguinte fórmula:

P = π D

= π × 5,05 × 10 - 3   m

= 15,9 × 10 - 3   m

Calcule a área da seção transversal da aleta cilíndrica pela seguinte fórmula:

A c = π 4 D 2

= 20 × 10 - 6   m 2

Passo 11

Calcule o parâmetro da aleta usando a seguinte fórmula:

M = h P k A c ⋅ θ b

M = 104,4 × 15,9 × 10 - 3 × 237 × 20 × 10 - 6 × ( 85 - 20 )

= 5,77   W

Para uma aleta cilíndrica infinita, o parâmetro aleta é igual à perda de calor dela. Portanto:

q f = M = 5,77 W

A taxa de calor da aleta retangular é  25   % maior que a da aleta do cilindro.

Assim, a perda de calor da aleta cilíndrica é  5,77   W .

Passo 12

Passo 13

  1. Para obter a mesma taxa de transferência de calor da aleta cilíndrica que a aleta da seção transversal retangular, a taxa de transferência de calor pela aleta da seção transversal retangular deve ser igual ao parâmetro da aleta do parâmetro da aleta cilíndrica.

M = h P k A c ⋅ θ b

7,19 = 104,4 × π D × 237 × π 4 D 2 × ( 85 - 20 )

7,19 65 = 61050,4 D 3

D = 5,85   m m

Assim, o diâmetro da aleta cilíndrica seria necessário para fornecer a mesma taxa de transferência de calor da aleta que a aleta de seção transversal retangular  5,85   m m .

Resposta

  1. A perda de calor da aleta retangular é  7,19   W e a perda de calor da aleta cilíndrica é  5,77   W .
  2. D = 5,85   m m

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