Enunciado

Um balão de ar elástico com diâmetro de 30 cm é acoplado à base de um contêiner parcialmente preenchido com água a + 4 ℃ , como mostra a Figura. Se a pressão do ar

acima da água aumentar gradualmente de 100 kPa até 1,6 MPa, a força no cabo variará? Nesse caso, qual é a variação percentual da força? Suponha que a pressão na superfície livre e o diâmetro do balão estejam relacionados por P = C D n , onde C é uma constante e n = -2 . O peso do balão e do ar que há nele são desprezíveis.

Passo 1

Bora lá entender o que essa questão quer!

Temos um balão preso por um cabo, dentro de um tanque fechado e cheio de água e o enunciado disse que existe uma relação entre a pressão do ar na superfície livre da água com o diâmetro desse balão:

P = C D n

Onde P é a pressão do ar que age na superfície livre da água, C é uma constante que a gente não conhece, D é o diâmetro do balão e n = - 2 .

Essa expressão relaciona P com D e a gente tem que descobrir qual a influência dessa relação na força, F c a b o ,que o cabo tem que fazer pra segurar esse balão no mesmo lugar!

Agora vamos aos dados:

A água esta a 4 ℃ então sua densidade é ρ H 2 O = 1000   k g / m 3 . D 1 é o diâmetro inicial do balão, D 1 = 30   c m e a pressão incial e final são P 1 = 100   k P a e P 2 = 1,6   M P a , respectivamente. O enunciado também diz que o peso do balão é desprezível.

Ah, precisamos converter as pressões para P a e o diâmetro para m !

Vai ficar P 1 = 10 5   P a e P 2 = 1,6 × 10 6   P a e D 1 = 0,3   m .

A gente quer saber o percentual de variação da força do cabo com o aumento da pressão!

Passo 2

Pra a gente visualizar melhor, olha só esse esqueminha:

Aqui F P é a força peso do balão, que o enunciado disse que é desprezível, ele só ta aqui pra a gente visualizar melhor, ok? E F F é a força de flutuação do balão e é dada por:

F F = ρ H 2 O g V

Onde g é a aceleração da gravidade e V é o volume dado por:

V = 4 3 π D 2 3

A força do cabo F c a b o é dada por:

F c a b o = F F - F P

Mas como a gente vai desconsiderar F P , temos:

F c a b o ≅ F F = ρ H 2 O g π D 3 6  

Passo 3

Temos esses dados, então bora substituir e calcular!

F c a b o 1 = 1000 × 9,81 × π × 0,30 3 6

Calculando:

F c a b o 1 = 138,7   N

Não comecemos o diâmetro do balão quando a pressão é P 2 = 1,6 × 10 6   P a e precisamos dele pra calcular F c a b o 2 , então para isso vamos precisar usar essa relação aqui:

P = C D - 2

Fazendo:

D 1 2 = C P 1

E:

D 2 2 = C P 2

Como não conhecemos C podemos dividir uma expressão pela outra, pra poder cancelar o C ! Beleza?

D 2 2 D 1 2 = C / P 2 C / P 1

Arrumando, temos:

D 2 = P 1 P 2   D 1 2

Substituindo:

D 2 = 10 5 1,6 × 10 6   × 0,3

Calculando:

D 2 = 0,075   m

Agora podemos calcular a força do cabo para esse diâmetro:

F c a b o 2 = 1000 × 9,81 × π × 0,075 3 6

Calculando:

F c a b o 2 = 2,2   N  

Agora que conhecemos as duas as duas forças, podemos calcular a variação percentual da força, fezendo:

% F = F c a b o 1 - F c a b o 2 F c a b o 1 × 100 %

Substituindo:

% F = 138,7 - 2,2 138,7 × 100 %

Calculando:

% F = 98 , 4   %

Achamos nosso percentual de variação da força!!

Resposta

A força do cabo vai variar! % F = 98 , 4   %   .

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