Enunciado

Barras de aço ( ρ = 7.832   k g / m 3 ,   c p = 434   J / k g ⋅ K   e   k = 63,9   W / m ⋅ K ) são aquecidas em um forno a 850 ℃ e depois mergulhadas em banho-maria a 50 ℃ por um período de 40 segundos como parte do processo de endurecimento. O coeficiente de transferência de calor por convecção é 650   W / m 2 ⋅ K . Considerando que as barras de aço têm diâmetro de 40   m m de comprimento de 2   m , determine sua temperatura média quando são retiradas do banho-maria.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Densidade da barra de aço é ρ = 7.832   k g / m 3

Capacidade específica de calor é c p = 434   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica é k = 63,9   W / m ⋅ K

Diâmetro da barra é D = 40   m m = 0 , 0 4   m

Comprimento da barra é L = 2   m

Coeficiente de transferência de calor é h = 650   W / m 2 ⋅ K

Temperatura inicial é T i = 850 ℃ = 1123 K

Temperatura ambiente é T ∞ = 50 ℃ = 323 K

Tempo de aquecimento é t = 4 0   s

Passo 2

Vamos começar calculando o número de Biot usando a seguinte relação:

B i = h L c k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção, k  é a condutividade térmica da barra de aço e L c é o comprimento característico da barra de aço.

Podemos calcular o comprimento característico da barra de aço usando a seguinte relação,

L c = V A s

L c = π D 2 L / 4 π D L

L c = D 4

Aqui,  V é o volume da haste de aço,  A s é a área da superfície da haste de aço,  D é o diâmetro da haste de aço e  L é o comprimento da haste de aço.

Substituindo na ralação do número de Biot, temos:

B i = h D 4 k

Substituindo 63,9   W / m ⋅ K por  k 0,04   m por D 650   W / m 2 ⋅ K por  h , temos:

B i = 650   W / m 2 ⋅ K   × 0,0 4   m 4 × 63,9   W / m ⋅ K

B i = 0 , 1017

B i = 0,1

A análise do sistema aglomerado pode ser feita, uma vez que o número de Biot é menor ou igual que 0,1 .

Passo 3

Podemos obter a temperatura da barra após o banho-maria, utilizando a equação da análise de sistemas aglomerados. A equação é escrita da seguinte maneira:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Onde

b = h ρ c p L c

Podemos fazer umas mudanças nela da seguinte maneira:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - h ρ c p L c t

T t = T i - T ∞ e - 4 h ρ c p D t + T ∞

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  ρ é a densidade,  c p é a capacidade específica de calor a pressão constante, T i é a temperatura inicial, T ∞ é a temperatura ambiente, D é o diâmetro e t é o tempo.

Substituindo  650   W / m 2 ⋅ K por  h 7832   k g / m 3 por  ρ 434   J / k g ⋅ K por  c p , 0,04   m por D , 1123 K por T i , 323 K por T ∞ e 4 0   s por t , temos:

T t = 1123 K - 323 K e - 4 × 650   W / m 2 ⋅ K 7832   k g / m 3 × 434   J / k g ⋅ K × 0,04   m × 40   s + 323 K

T t = 800 K e - 0,765 + 323 K

T t = 372,3 K + 323 K

T t = 695,3 K

T t = 422,3 ℃

Portanto, a temperatura da barra de aço após 40 segundos é  422,3 ℃ .

Resposta

T t = 422,3 ℃

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