Enunciado

Uma experiência deve ser conduzida para determinar o coeficiente de transferência de calor na superfície de tomates colocados em água fria a 7 ℃ . Os tomates ( k = 0,59   W / m ⋅ K ,   α = 0,141 × 10 - 6   m 2 / s ,   ρ = 999   k g / m 3 ,   c p = 3,99   k J / k g ⋅ K ) com temperatura inicial uniforme de 30 ℃ têm forma esférica com diâmetro de 8   c m . Após o período de 2 horas, as temperaturas no centro e na superfície do tomate são 10,0 ℃ e 7,1 ℃ , respectivamente. Usando o método analítico da aproximação de termo único (não os gráficos de Heisler), determine o coeficiente de transferência de calor e a quantidade de calor transferido durante esse período considerando que há oito tomates na água.

Passo 1

Para determine o coeficiente de transferência de calor e a quantidade de calor transferido durante esse período, podem começar calculando o raio do tomate.

r o = D 2

Aqui,  D  é o diâmetro do tomate. Substituindo 0,08   m , por  D .

r o = 0,08   m 2 = 0,04   m

Com o raio, podemos calcular o número de Fourier usando a seguinte relação:

τ = α t r o 2

Aqui,  τ é o número de Fourier,  α é a difusividade térmica do material, e  t  é o tempo. Substituindo os valores fornecidos no enunciado e os encontrados nos passos anteriores, temos:

τ = 0,141 × 10 - 6   m 2 / s × 7200   s 0,04   m = 0,6345

Como o número de Fourier é maior que 0,2 , a solução de um termo é aplicável.

Passo 2

Temos que encontrar agora o valor de λ 1 para esse problema. Para isso, podemos calcular o valor de  λ 1 da razão de temperaturas adimensionais na superfície e no centro dos tomates.

θ s , e s f e r a θ o , e s f e r a = T s - T ∞ T i - T ∞ T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r r o λ 1 r r o A 1 e - λ 1 2 τ

Sabendo que para s superfície do tomate r = r o e simplificando os outros termos, temos:

θ s , e s f e r a θ o , e s f e r a = T s - T ∞ T o - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1 A 1 e - λ 1 2 τ

θ s , e s f e r a θ o , e s f e r a = T s - T ∞ T o - T ∞ = sen ⁡ λ 1 λ 1

T s - T ∞ T o - T ∞ = sen ⁡ λ 1 λ 1

Aqui,  θ s , e s f e r a é a temperatura adimensional na superfície,  θ o , e s f e r a é a temperatura adimensional no centro,  T s é a temperatura superficial do tomate,  T ∞ é a temperatura da água fria,  T i é a temperatura inicial do tomate,  T o é a temperatura inicial no centro do tomate,   A 1 λ 1 são as constantes. Substituindo as temperaturas na equação acima temos:

7,1 ℃ - 7 ℃ 10 ℃ - 7 ℃ = sen ⁡ λ 1 λ 1

0,1 3 = sen ⁡ λ 1 λ 1

0,0334 = sen ⁡ λ 1 λ 1

Por meio de calculadora cientifica, é possível encontra que uma das soluções que faz sentido é:

λ 1 = 3,0401

Passo 3

Agora, podemos encontrar o número Biot por meio da tabela 4-2 correspondente ao valor de  λ 1 = 3,0401 para esfera por interpolação. Assim temos:

B i = 30 + 40 - 30 3,0632 - 3,0372 3,0401 - 3,0372

B i = 31,11

Com o número de Biot, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção usando a seguinte relação:

B i = h r o k

Podemos rescrever isolando h .

h = B i × k r o

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção e k  é a condutividade térmica do tomate. Substituindo pelos valore fornecidos e encontrados nos passos anteriores, temos:

h = 31,11 × 0,59   W / m ⋅ K 0,04   m

h = 4 58,87   W / m 2 ⋅ K

Portanto, o coeficiente de transferência de calor é  458,87   W / m 2 ⋅ K .

Passo 4

Para encontrar a quantidade de calor transferido durante esse período, começamos calculando a massa de oito tomates usando a seguinte relação:

m = 8 ρ V = 8 ρ π D 3 6

Aqui,  ρ éa densidade do tomate e  D é o diâmetro do tomate. Substituindo pelos valores fornecidos, temos:

m = 8 × 999   k g / m 3 × π × 0,08   m 3 6

m = 2,1425   k g

Podemos calcular a taxa máxima de transferência de calor usando a seguinte relação:

Q m á x = m c p T i - T ∞

Substituindo  2,1425   k g por  m 3,99   k J / k g ⋅ K por  c p 30 ℃ por  T i 7 ℃ por  T ∞ .

Q m á x = 2,1425   k g × 3,99   k J / k g ⋅ K × 30 ℃ - 7 ℃

Q m á x = 196,61   k J

Passo 5

Agora, podemos calcular a quantidade real de calor transferida usando a seguinte relação:

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 θ o , e s f e r a sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Aqui,  Q  é a quantidade real de calor transferido.

Q = Q m á x 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Substituindo  196,61   k J por  Q m á x ,   30 ℃ por  T i 7 ℃ por  T ∞ , 10 ℃ por T o e 3,0401 por λ 1 .

Q = 196,61   k J   1 - 3 10 ℃ - 7 ℃ 30 ℃ - 7 ℃ sen ⁡ 3,0401 - 3,0401 cos ⁡ 3,0401 3,0401 3

Q = 196,61   k J   1 - 0,04353

Q = 188,05   k J

Portanto, a quantidade de calor transferida durante o período de 2 horas é  188,05   k J .

Resposta

h = 458,87   W / m 2 ⋅ K

Q = 188,05   k J

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