Enunciado

Em uma instalação de produção, placas grandes de bronze k = 110   W / m ⋅ K ,   ρ = 8.530   k g / m 3 ,   c p = 380   J / k g ⋅ K   e   α = 33,9 × 10 - 6   m 2 / s de 3   c m de espessura, que estão inicialmente a uma temperatura uniforme de 25 ℃ , são aquecidas pela passagem no forno mantido a 700 ℃ . As placas permanecem no forno durante 10 minutos. Considerando o coeficiente de transferência de calor por convecção h = 80   W / m 2 ⋅ K , determine a temperatura da superfície das placas quando saem do forno.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Espessura da placa de bronze: e = 3   c m = 0,03   m

Condutividade térmica do bronze:   k = 110   W / m ⋅ K

Densidade do bronze:   ρ = 8.530   k g / m 3  

Calor específico do bronze:  c p = 380   J / k g ⋅ K  

Difusividade térmica do bronze:  α = 33,9 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 80   W / m 2 ⋅ K

Temperatura do forno:  T ∞ = 700 ℃

A temperatura inicial:  T i = 25 ℃

Tempo que as placas permanecem no forno: t = 10   m i n = 600   s

Suposições:

A condução de calor na placa é unidimensional, uma vez que a placa é grande em relação à sua espessura e existe simetria térmica no plano central.

As propriedades térmicas da placa são constantes.

O coeficiente de transferência de calor é constante e uniforme em toda a superfície.

O número de Fourier é τ > 0,2 , de modo que as soluções aproximadas de um termo (ou as tabelas de temperaturas transitórias) são aplicáveis ​​(essa suposição será verificada).

Passo 2

Vamos começar calculando o número Biot para este processo. Assim temos:

B i = h L k

Substituindo pelos dados fornecidos, temos:

B i = 80   W / m 2 ⋅ K × 0,015   m 110   W / m ⋅ K

B i = 0,01091

Com o numero de Biot encontrado, podemos obter os coeficientes λ 1 e A 1 correspondentes ao número de Biot  B i = 0,0109 , na tabela 4-2 “coeficiente usado para aproximação dimensional da condução de calor transiente e unidimensional em parede plana”. Para este número Biot, precisamos fazer uma interpolação.

λ 1 0,0109 = 0,0998 + 0,1410 - 0,0998 × 0,01091 - 0,01 0,02 - 0,01

λ 1 0,0109 = 0,103545

A 1 0,0109 = 1,0017 + 1,0033 - 1,0017 × 0,01091 - 0,01 0,02 - 0,01

A 1 0,0109 = 1,0018

Agora, vamos calcular o número de Fourier usando a seguinte relação:

τ = α t L 2

Substituindo pelos valores fornecidos, temos:

τ = 33,9 × 10 - 6   m 2 / s   × 600   s 0,015   m 2

τ = 90,4

Passo 3

Encontramos que τ > 0,2 , portanto, a solução aproximada de um termo (ou os gráficos de temperatura transitória) é aplicável. Então a temperatura na superfície das placas pode ser encontrada com a aplicação da seguinte equação:

T x , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1 x L

Como desejamos encontrar a temperatura na superfície, temos que x = L . Assim temos:

T x , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1 L L

T x , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1

Substituindo os valores fornecidos e encontrados nos passos anteriores, temos:

T x , t - 700 ℃ 25 ℃ - 700 ℃ = 1,0018 × e - 0,103545 2 × 90,4 cos ⁡ 0,103545

T x , t = 700 ℃ - 675 ℃ × 0,37803

T x , t = 444,825 ℃

Portanto, a temperatura da superfície das placas quando saem do forno é 444,825 ℃ .

Resposta

T x , t = 444,825 ℃

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