Enunciado

Com base nas taxas de transferência de calor por condução adimensionais para os casos 12–15 na Tabela 4.1 b , encontre fatores de forma para os seguintes objetos com temperatura T 1 , localizados na superfície de um meio semi-infinito que está à temperatura T 2 . A superfície do meio semi-infinito é adiabática.

a) Um hemisfério enterrado, com o plano no mesmo nível da superfície.

b) Um disco sobre a superfície. Compare o seu resultado com o da Tabela 4.1 a , caso 10.

c) Um quadrado na superfície.

d) Um cubo enterrado, com uma face no mesmo nível da superfície.

Passo 1

Expressando a equação da taxa de calor por condução sem dimensão para meio infinito:

q s s ' ' = q L c k A s ( T 1 - T 2 )

Sendo:

L c   o   c o m p r i m e n t o   c a r a c t e r í s t i c o ;

q   a   t a x a   d e   t r a n s f e r ê n c i a   d e   c a l o r ;

A s   a   á r e a   s u p e r f i c i a l ;

k   a   c o n d u t i v i d a d e   t é r m i c a ;

T 1   e   T 2   a s   t e m p e r a t u r a s .

Isolando q :

q = q s s ' ' k A s T 1 - T 2 L c

A relação de comprimento característico para meio infinito se dá por:

L c = A s 4 π 1 2

O fator de forma para meio infinito é:

S = q k ( T 1 - T 2 )

Substituindo os termos na equação:

S = q s s ' ' k A s T 1 - T 2 k ( T 1 - T 2 ) A s 4 π 1 2

S = q s s ' ' 4 π A s 1 2

Considerando que o meio está sujeito a superfície semi-infinita, temos:

S = q s s ' ' 4 π A s 1 2 2

S = q s s ' ' π A s 1 2

Passo 2

Letra a)

Calculando o fator de forma para o objeto do hemisfério enterrado, com o plano no mesmo nível da superfície.

Obtendo a área ativa e o fator de forma para um hemisfério na Tabela 4.1, “Fatores de forma de condução e taxas de calor de condução sem dimensão para sistemas selecionados – Caso 12”:

A s = π D 2

A taxa de condução de calor sem dimensão:

q s s ' ' = 1

Substituindo na equação de fator de forma:

S = 1 ⋅ π ⋅ π D 2 1 2

S = π D

Passo 3

Letra b)

Calculando o fator de forma para um disco sobre a superfície.

Obtendo a área ativa e o fator de forma de um disco na Tabela 4.1, “Fatores de forma de condução e taxas de calor de condução sem dimensão para sistemas selecionados – Caso 13”:

A s = π D 2 2

A taxa de condução de calor sem dimensão:

q s s ' ' = 2 2 π

Substituindo na equação de fator de forma:

S = 2 2 π ⋅ π ⋅ π D 2 2 1 2

S = 2 D

Passo 4

Letra c)

Calcule o fator de forma para um quadrado na superfície.

Obtendo a área ativa e o fator de forma para um quadrado na Tabela 4.1, “Fatores de forma de condução e taxas de calor de condução sem dimensão para sistemas selecionados – Caso 14”:

A s = 2 w L

A taxa de condução de calor sem dimensão

q s s ' ' = 0,932

Sabendo que  L  é o comprimento e w  é a largura, para um quadrado, temos:

w = L = D

Então:

A s = 2 D 2

Substituindo na equação de fator de forma:

S = 0,932 ⋅ π ⋅ 2 D 2 1 2

S = 2 , 34 D

Passo 5

Letra d)

Calculando o fator de forma para um cubo enterrado, com uma face no mesmo nível da superfície.

Consideremos que a taxa  d D de altura do objeto inteiro (cubo) seja igual a 2.

Obtendo a área ativa e o fator de forma para um cubo na Tabela 4.1, “Fatores de forma de condução e taxas de calor de condução sem dimensão para sistemas selecionados – Caso 15”:

A s = 2 D 2 + 4 D d

A taxa de condução de calor sem dimensão:

q s s ' ' = 0,961

Substituindo na equação de fator de forma:

S = 0,9 61 ⋅ π ⋅ 2 D 2 + 4 D d 1 2

S = 5,39 D

O fator de forma para um cubo de  d D igual a 2 é  5,39 D .

Resposta

a )   S = π D

b )   S = 2 D

c )   S = 2,34 D

d )   S = 5,39 D

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