Enunciado

Uma bomba de água, centrífuga, funcionando à velocidade ω = 800   r p m , tem os seguintes dados para a vazão Q e altura de carga Δ p :

A altura de carga Δ p é uma função da vazão, Q , da velocidade, ω , do diâmetro do rotor, D , e da massa específica da água, ρ . Trace um gráfico da altura de carga em função da vazão. Determine os dois parâmetros Π para este problema e, a partir dos dados da tabela trace a curva de um parâmetro versus o outro. Usando o Excel, faça uma análise de linha de tendência desta curva e, em seguida, gere e trace um gráfico da altura de carga em função da vazão para velocidades do rotor de 600 rpm e 1200 rpm.

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que devemos fazer é determinar os parâmetros dimensionais, nesse exercício temos:

ρ ; ω ; D ; Δ p ; Q

Então, como temos 5 parâmetros dimensionais, teremos:

n = 5

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; ω = T - 1 ; D = L ; Q = L 3 T - 1 ; Δ p = M L - 1 T - 2 ;

Agora, sabemos que teremos 3 dimensões primárias: M ,   L ,   T , então, temos:

r = 3

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ β 1 ω β 2 D β 3 Δ p

π 2 = ρ δ 1 ω δ 2 D δ 3 Q

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ β 1 ω β 2 D β 3 Δ p = M L - 3 β 1 T - 1 β 2 L β 3 M L - 1 T - 2

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

β 1 + 1 = 0 → β 1 = - 1

- β 2 - 2 = 0 → β 2 = - 2

- 3 β 1 + β 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + β 3 - 1 = 0 → β 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 ω - 2 D - 2 Δ p → π 1 = Δ p ρ ω 2 D 2

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ δ 1 ω δ 2 D δ 3 Q = M L - 3 δ 1 T - 1 δ 2 L δ 3 L 3 T - 1

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

δ 1 + 0 = 0 → δ 1 = 0

- δ 2 - 1 = 0 → δ 2 = - 1

- 3 δ 1 + δ 3 + 3 = 0 → - 3 0 + δ 3 + 3 = 0 → δ 3 = - 3

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ 0 ω - 1 D - 3 Q → π 2 = Q ω D 3

Então podemos escrever Π 1 em função de Π 2 :

Π 1 = f Π 2

Agora, vamos esboçar o gráfico da relação dada no enunciado entre a vazão e a queda de pressão, então, temos:

Passo 3

Então, a partir do gráfico do passo 2, podemos assumir a relação entre a queda de pressão e a vazão como sendo de segundo grau, dessa forma, a equação que modela o problema terá o formato:

Π 1 = f Π 2 → Δ p ρ ω 2 D 2 = a + b Q ω D 3 + c Q ω D 3 3

Então, no nosso caso, temos:

ρ = 998   k g / m 3

ω = 800   r p m

D = 1   m

Então, escrevendo a queda de pressão e a vazão em função dos adimensionais, os pontos fornecidos no enunciado se tornam:

Então, os coeficientes da equação ajustada são:

a = 0,0006

b = 0,0004

c = - 0,0033

Então, a equação se torna:

Δ p ρ ω 2 D 2 = a + b Q ω D 3 + c Q ω D 3 2

Δ p ρ ω 2 D 2 = 0,00006 + 0,00004 Q ω D 3 - 0,0033 Q ω D 3 2

Passo 4

Então, agora podemos plotar o valor para ω = 600   r p m da queda de pressão em função da vazão. Então, teremos:

E, agora, para a velocidade ω = 1200   r p m , temos:

Resposta

π 1 = Δ p ρ ω 2 D 2

π 2 = Q ω D 3

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