Enunciado

Considere o escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior movendo a U = 1,5   m / s ; o espaçamento entre as placas é a = 2,5   m m . Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para o caso de gradiente de pressão zero. Se o fluido for ar, avalie a tensão de cisalhamento sobre a placa inferior e trace a distribuição de tensão de cisalhamento através do canal para o caso de gradiente de pressão zero. A vazão aumentará ou diminuirá, se o gradiente de pressão for adverso? Determine o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero em y = 0,25 a . Trace o gráfico da distribuição de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para o último caso.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é escrever a equação para o perfil de velocidade nesse caso, que será dado pela equação 8.8 vista nessa seção do livro, então, teremos:

u y = U y a + a 2 2 μ d p d x y a 2 - y a

Então para um gradiente de pressão d p / d x = 0 , temos:

u y = U y a

Agora, escrevendo a equação da vazão volumétrica, temos:

Q = ∫ V A = ∫ 0 a u w d y

Deixando a vazão no formato pedido, ou seja, por unidade de profundidade, temos:

Q w = ∫ 0 a u d y

Substituindo a expressão para u ( y ) acima, temos:

Q w = ∫ 0 a U y a d y = U a ∫ 0 a y d y

Integrando essa expressão, temos:

Q w = U a y 2 2 0 a

Substituindo os limites de integração, ficamos com:

Q w = U a a 2 2 → Q w = U a 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Q w = 1,5 0,0025 2 → Q w = 1,875.10 - 3   m 3 / s

Passo 2

Agora, sabemos que a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = μ d u d y

Então, derivando a expressão da velocidade para o gradiente de pressão zero encontrado no passo 1, temos:

d u d y = U a

Dessa forma, substituindo esse valor na expressão para τ , temos:

τ = μ U a

Substituindo os valores conhecidos (lembrando de pegar o dado para a viscosidade do apêndice A), temos:

τ = 1,81.10 - 5 1,5 0,0025 → τ = 10,86 . 10 - 3   N / m 2

Então, a tensão de cisalhamento será constante. Agora, se o gradiente de pressão por positivo, então a vazão diminuirá, mas, se ele for negativo, então a vazão irá aumentar.

Passo 3

Agora, para o caso onde o gradiente de pressão não é zero, temos a derivada da velocidade como:

d u d y = U a + a 2 2 μ d p d x 2 y a 2 - 1 a

Então, dessa forma, a tensão de cisalhamento será:

τ = μ d u d y = μ U a + a 2 2 d p d x 2 y a 2 - 1 a

Então, para o ponto pedido no enunciado, de y = 0,25 a , temos:

τ = μ U a + a 2 2 d p d x 0,5 a a 2 - 1 a = μ U a + a 2 2 d p d x - 0,5 a

τ = μ U a - a 4 d p d x

Então, agora, para obter tensão de cisalhamento zero, devemos ter então:

0 = μ U a - a 4 d p d x → d p d x = 4 μ U a 2

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

d p d x = 4 1,81.10 - 5 1,5 0,0025 2 → d p d x = 17,38   P a / m

Passo 4

Então, o gráfico da distribuição de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para o caso do passo 3 será governado pela equação:

τ = μ U a + a 2 2 d p d x 2 y a 2 - 1 a

Com o valor de d p / d x encontrado no passo 3, então, dessa forma, o gráfico será:

Resposta

Q w = 1,875.10 - 3   m 3 / s

τ = 10,86.10 - 3   N / m 2

d p d x = 17,38   P a / m

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