Enunciado

Para cada um dos casos a seguir, determine um comprimento característico apropriado L c e o número de Biot B i correspondente que está associado à resposta térmica transiente do objeto sólido. Diga se a aproximação pela capacitância global é válida. Se a informação da temperatura não for fornecida, avalie as propriedades a T = 300   K .

(d) Um bastão sólido, com comprimento L = 300   m m , de aço inoxidável com diâmetro D = 13   m m e massa M = 0,328   k g está exposto a um coeficiente convectivo h = 30   W / m 2 · K .

Passo 1

(d) Fala galera!!

Dados fornecidos:

Diâmetro do bastão: D = 13   m m

Comprimento do bastão: L = 300   m m

Massa do bastão: M = 0,328   k g

Coeficiente convectivo: h = 3 0   W / m 2 · K

Para resolver essa questão, é importante saber que o comprimento característico é a razão da área pelo volume, ou seja:

L c = V A s

Aqui, A s é a área da superfície e V é o volume.

Passo 2

Agora, vamos substituir os termos para encontrar o comprimento característico. Para um bastão sólido, temos que a o volume é dado pela expressão

V = π D 2 4 L

e a área da superfície é dada ela expressão

A s = π D L + 2 π D 2 4

Aqui,  D é o diâmetro do bastão e  L é o comprimento do bastão.

Passo 3

Substituindo as relações encontradas na equação do comprimento característico, temos o seguinte:

L c = π D 2 4 L π D L + 2 π D 2 4

L c = D L 4 L + 2 D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L c = 1 3   m m 300   m m 4 300   m m + 2 13   m m

L c = 3,18   m m

Portanto, o comprimento característico apropriado que está associado à resposta térmica transitória desse objeto sólido é 3,18   m m .

Passo 4

Para calcular o número de Biot, precisamos da condutividade térmica do material. Não foi dito que tipo de aço inoxidável é esse, mas foi dito a sua massa, a partir da qual podemos encontrar sua densidade. Então, vamos calcular a densidade do material. Assim, temos que

ρ = M V = M π D 2 4 L = 4 M π D 2 L

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

ρ = 4 0,328   k g π 0,013   m 2 0,3   m = 8237   k g / m 3

Pela densidade, parece ser aço inoxidável A I S I   316 . Assim, a temperatura de 300   K , temos que a condutividade térmica é k   =   13,4   W / m ⋅ K .

Passo 5

Agora, vamos calcular o número Biot correspondente ao comprimento característico de  0,00 318   m . Temos que Biot é calculado pela seguinte expressão:

B i = h L c k

Aqui,   h é o coeficiente convectivo,  L c é o comprimento característico e  k é a condutividade térmica do corpo. Substituindo os temos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

B i = 30   W / m 2 · K 0,00318   m 13,4     W / m ⋅ K

B i = 0,00 36

Portanto, o número Biot correspondente que está associado à resposta térmica transitória do objeto sólido é  0,00 36 . Para que a aproximação da capacitância acumulada seja válida, a condição é

B i < 0,1

Temos que o número de Biot correspondente ao comprimento característico é menor que 0,1 , portanto, a aproximação da capacitância global é válida neste caso.

Resposta

L c = 3,18   m m

B i = 0,0036

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