Enunciado
Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 133
Um bastão de tantálio, com de diâmetro e comprimento de , é sustentado por dois eletrodos no interior de um grande recipiente onde há vácuo. Inicialmente, o bastão está em equilíbrio com os eletrodos e com a sua vizinhança, que são mantidos a . Subitamente, uma corrente elétrica, , é passada através do bastão. Considere a emissividade do bastão igual a e a resistividade elétrica igual a . Utilize a Tabela A.1 para obter as outras propriedades termofísicas necessárias para a sua solução. Use um método de diferenças finitas com um incremento espacial de .
(a)Calcule o tempo necessário para o ponto na metade do comprimento do bastão atingir .
(b)Determine a distribuição de temperaturas no regime estacionário e calcule, aproximadamente, quanto tempo será necessário para atingir essa condição.
Passo 1
Beleza galerinha, vamos lá! Nessa questão, trabalhamos com uma resistividade elétrica muito baixa, por causa disso, o tempo que vamos calcular no item a) vai acabar sendo estimado com base na equação da diferença finita. Mas não se preocupem, vai dar certo! Então chega de papo e simbora! (a)A equação de diferença finita é dada por:
E esse monstro tem algumas coisas que já sabemos, como por exemplo:
Passo 2
Continuando, temos que aplicar o critério de estabilidade, para podermos achar um valor de em função de . Portanto, vamos considerar e aplicar os valores numéricos dessa porrada de constante que temos aí em cima! Podemos achar elas no final do livro, como também no começo do capítulo 5!
Resolvendo para , temos:
Note que esta forma se aplica aos nós de a . Para nó , . Como , usando o que já achamos para o valor do Fourier, usamos que,
Aplicando para a equação tempo versus pressão,
Passo 3
Você pode estar pensando que horas a gente vai começar a dar o valor direto do bastão a , mas calma. Vamos fazer de uma forma mais legal ainda. Para estimar o tempo necessário para que o comprimento médio atinja , ou seja, , vamos fazer a solução de marcação prévia começando com a . A portanto, vamos tabular esses valores, variando o valor de .
Ou seja, em , ou , que alcança a temperatura de
Passo 4
(b) A distribuição de temperatura em estado estacionário pode ser obtida através da solução de marcha até que apenas pequenas mudanças em sejam notadas. Da tabela acima, note que a ou , a distribuição de temperatura ainda está mudando com o tempo. É provável que sejam necessários pelo menos mais conjuntos de cálculo para ver se o estado estacionário está sendo abordado. Mas fazendo mais 15 iterações dessa com auxílio de softs, temos que,
Resposta
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