Enunciado

Para cada um dos casos a seguir, determine um comprimento característico apropriado L c e o número de Biot B i correspondente que está associado à resposta térmica transiente do objeto sólido. Diga se a aproximação pela capacitância global é válida. Se a informação da temperatura não for fornecida, avalie as propriedades a T = 300   K .

(f) Um longo bastão cilíndrico com diâmetro D = 20   m m , densidade ρ = 2300   k g / m 3 , calor específico c p = 1750   J / k g · K e condutividade térmica k = 16   W / m ⋅ K é subitamente exposto a condições convectivas com T ∞ = 20 ℃ . O bastão encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme T i = 200 ℃ e atinge uma temperatura média espacial de T = 100 ℃ em t = 225   s .

Passo 1

(f) Fala galera!!

Dados fornecidos:

Diâmetro do bastão: D = 20   m m

Densidade do bastão: ρ = 2300   k g / m 3

Calor específico: c p = 1750   J / k g · K

Condutividade térmica: k = 16   W / m ⋅ K

Temperatura do ambiente: T ∞ = 20 ℃

Temperatura inicial do bastão: T i = 200 ℃

Temperatura média final do bastão: T = 100 ℃

Tempo de resfriamento: t = 225   s

Para resolver essa questão, é importante saber que o comprimento característico é a razão da área pelo volume, ou seja:

L c = V A s

Aqui, A s é a área da superfície e V é o volume.

Passo 2

Agora, vamos substituir os termos para encontrar o comprimento característico. Para um bastão cilíndrico, temos que a o volume é dado pela expressão

V = π D 2 4 L

e a área da superfície lateral é dada ela expressão

A s = π D L

Aqui,  D é o diâmetro do bastão e  L é o comprimento do bastão.

Passo 3

Substituindo as relações encontradas na equação do comprimento característico, temos o seguinte:

L c = π D 2 4 L π D L

L c = D 4

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L c = 20   m m 4

L c = 5   m m

Portanto, o comprimento característico apropriado que está associado à resposta térmica transitória desse objeto sólido é 0,005   m .

Passo 4

Para calcular o número de Biot, precisamos coeficiente convectivo para o processo resfriamento do bastão cilíndrico. Não nos é dito o coeficiente de transferência de calor por convecção, mas sabemos a temperatura do fluido e a temperatura da haste inicialmente e em t = 225   s . Se assumirmos que a aproximação da capacitância concentrada é válida, podemos determinar o coeficiente de transferência de calor a partir da Equação 5.5. Assim, temos:

h = ρ V c p A s t ln ⁡ θ i θ

h = ρ c p L c t ln ⁡ T i - T ∞ T - T ∞

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 2300   k g / m 3 1750   J / k g · K 0,005   m 225   s ln ⁡ 200 ℃ - 20 ℃ 100 ℃ - 20 ℃

h = 72,5   W / m 2 ⋅ K

Passo 5

Agora, vamos calcular o número Biot correspondente ao comprimento característico de  0,00 5   m . Temos que Biot é calculado pela seguinte expressão:

B i = h L c k

Aqui,   h é o coeficiente convectivo,  L c é o comprimento característico e  k é a condutividade térmica do corpo. Substituindo os temos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

B i = 72,5   W / m 2 · K 0,00 5   m 16     W / m ⋅ K

B i = 0,0 23

Portanto, o número Biot correspondente que está associado à resposta térmica transitória do objeto sólido é  0,0 23 . Para que a aproximação da capacitância acumulada seja válida, a condição é

B i < 0,1

Temos que o número de Biot correspondente ao comprimento característico é menor que 0,1 , portanto, a aproximação da capacitância global é válida neste caso.

Isso também significa que era apropriado usar a aproximação de capacitância global para calcular  h .

Resposta

L c = 5   m m

B i = 0,023

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