Enunciado

Para cada um dos casos a seguir, determine um comprimento característico apropriado L c e o número de Biot B i correspondente que está associado à resposta térmica transiente do objeto sólido. Diga se a aproximação pela capacitância global é válida. Se a informação da temperatura não for fornecida, avalie as propriedades a T = 300   K .

(a) Uma forma toroidal de diâmetro D = 50   m m e área da seção transversal A c = 5   m m 2 , com condutividade térmica k = 2,3   W / m ⋅ K . A superfície do toroide está exposta a um refrigerante correspondente a um coeficiente convectivo h = 50   W / m 2 · K .

Passo 1

(a) Fala galera!!

Dados fornecidos:

Diâmetro D = 50   m m

Área da seção transversal A c = 5   m m 2

Condutividade térmica k = 2,3   W / m ⋅ K

Coeficiente convectivo h = 50   W / m 2 · K

Para resolver essa questão, é importante saber que o comprimento característico é a razão da área pelo volume, ou seja:

L c = V A s

Aqui, A s é a área da superfície e V é o volume.

Passo 2

Agora, vamos substituir os termos para encontrar o comprimento característico. Para forma toroidal, temos que a o volume é dado pela expressão

V = A c π D

e a área da superfície é dada ela expressão

A s = 2 π r o π D

Onde r o pose ser obtido da área da seção transversal da seguinte maneira:

A c = π r o 2

r o = A c π 1 / 2

Passo 3

Substituindo as relações encontradas na equação do comprimento característico, temos o seguinte:

L c = A c π D 2 π r o π D

L c = A c π D 2 π A c 2 π 1 / 2 π D

L c = 1 2 A c π 1 / 2

Substituindo A c por 5   m m 2 , temos o seguinte:

L c = 1 2 5   m m 2 π 1 / 2

L c = 0,63   m m

Passo 4

No entanto,  L c pode ser tomado conservadoramente como a dimensão correspondente à diferença de temperatura espacial máxima, ou seja, para esse caso

L c = r o

L c = A c π 1 / 2

Substituindo A c por 5   m m 2 , temos o seguinte:

L c = 5   m m 2 π 1 / 2

L c = 1,26   m m

Portanto, o comprimento característico apropriado que está associado à resposta térmica transitória do objeto sólido é 0,00063   m  ou 0,00126   m .

Passo 5

Agora, vamos calcular o número Biot correspondente para o primeiro comprimento característico de  0,00063   m . Temos que Biot é calculado pela seguinte expressão:

B i = h L c k

Aqui, h é o coeficiente convectivo,  L c é o comprimento característico e  k é a condutividade térmica do corpo. Substituindo os temos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

B i = 50   W / m 2 · K 0,00063   m 2,3   W / m ⋅ K

B i = 0,014

Passo 6

Agora, vamos calcular o número Biot correspondente para o segundo comprimento característico de  0,00126   m . Substituindo os temos da equação para o número de Biot pelos dados fornecidos, temos:

B i = h L c k

B i = 50   W / m 2 · K 0,00126   m 2,3   W / m ⋅ K

B i = 0,0 27

Portanto, o número Biot correspondente que está associado à resposta térmica transitória do objeto sólido é  0,014 ou  0,027 .

Para que a aproximação da capacitância acumulada seja válida, a condição é

B i < 0,1

Temos que o número de Biot correspondente para os dois comprimentos característicos válidos são menores que 0,1 , portanto, a aproximação da capacitância global é válida neste caso.

Resposta

L c = 0,63   m m

B i = 0,014

L c = 1,26   m m

B i = 0,027

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