Enunciado

Um cálculo de CFD de escoamento permanente, incompressível, bidimensional através de uma ramificação de duto assimétrica bidimensional revela o padrão de linhas de corrente desenhado na Figura P9-53, onde os valores de ψ estão em unidades de m 2 / s , e W é a largura do duto para dentro da página. São mostrados os valores da função corrente ψ nas paredes do duto. Qual é a porcentagem do escoamento que passa através da ramificação superior do duto?

Passo 1

A questão é sobre função corrente ψ . Ela quer que a gente calcule, a partir dos valores de função corrente dados, a porcentagem de vazão volumétrica Δ V ˙ % que passa pela ramificação de cima. Ou seja, o problema quer saber quanto vale a divisão da vazão V ˙ 1 pela vazão total V ˙ que passa pelo duto.

Δ V ˙ % = V ˙ 1 V ˙ ⋅ 100

onde a constante 100 está multiplicando para converter a divisão em uma porcentagem.

Para fazer esse cálculo, o enunciado nos informa alguns dados que são mostrados na figura abaixo.

onde W é a largura do duto, V ˙ 2 é a vazão volumétrica (vazão em volume) de fluido pela ramificação de baixo, h é a altura do canal do duto e ψ são os valores da função corrente em algumas linhas de corrente.

Agora que visualizamos os dados, podemos calcular o que queremos Δ V ˙ % .

Passo 2

Temos que calcular Δ V ˙ % , mas não sabemos quanto vale V ˙ 1 / V ˙ .

Para chegar no valor dessa divisão, temos primeiro que calcular a vazão volumétrica por unidade de largura V ˙ 1 / W que passa pela ramificação 1 (de cima) e a vazão volumétrica total por unidade de largura V ˙ / W . Para isso, usamos os valores informados de ψ .

A equação 9-25 serve justamente para calcular a vazão volumétrica por unidade de largura de o escoamento que passa entre duas linhas de corrente com valores de ψ conhecidos ( ψ l é o valor da linha de corrente de baixo e ψ u é o valor da linha de corrente de cima).

V ˙ W = ψ u - ψ l

Por exemplo, a vazão total V ˙ é a vazão que passa entre as linhas de corrente ψ u = 4,15   m 2 / s e ψ l = 2,03   m 2 / s . Com esses valores, chegamos no valor da vazão total por unidade de largura V ˙ / W .

V ˙ W = ψ u - ψ l       ⟹       V ˙ W = 4,15 - 2,03       ⟹       V ˙ W = 2,12   m 2 / s

Já a vazão da ramificação de cima V ˙ 1 é a vazão que passa entre as linhas de corrente ψ u = 4,15   m 2 / s e ψ l = 2,80   m 2 / s . Com esses valores, chegamos no valor da vazão da ramificação de cima por unidade de largura V ˙ 1 / W .

V ˙ 1 W = ψ u - ψ l       ⟹       V ˙ 1 W = 4,15 - 2,80       ⟹       V ˙ 1 W = 1,35   m 2 / s

Passo 3

Dividindo as duas vazões por unidade de largura que encontramos, chegamos em um valor de V ˙ 1 / V ˙ , porque W é cancelado.

V ˙ 1 W V ˙ W = V ˙ 1 W ⋅ W V ˙       ⟹       V ˙ 1 W V ˙ W = V ˙ 1 V ˙       ⟹       V ˙ 1 V ˙ = 1,35 2,12       ⟹       V ˙ 1 V ˙ = 0,637

Substituindo esse resultado na equação de Δ V ˙ % , achamos:

Δ V ˙ % = V ˙ 1 V ˙ ⋅ 100       ⟹       Δ V ˙ % = 0,637 ⋅ 100       ⟹       Δ V ˙ % = 63 , 7 %

Resposta

Δ V ˙ % = 63,7 %

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