Enunciado

Um campo de velocidade não permanente bidimensional é dado por u =   x ( 1 + 2 t ) , ν = y . Encontre a equação das linhas de corrente variáveis no tempo, que passam, todas, através do ponto ( x 0   ,   y 0 ) em algum instante t . Esboce algumas delas.

Passo 1

Bem, vamos lembrar que a equação apresentada é uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos organizar ela para ela tomar essa cara!

d x u = d y v

d x x ( 1 + 2 t ) = d y y

Passo 2

Agora basta integrarmos nossa equação:

1 ( 1 + 2 t ) ∫ d x x = ∫ d y y

1 ( 1 + 2 t ) ln ⁡ x = ln ⁡ y + ln ⁡ C

Onde C é uma constante!

Pra matar de vez, temos que:

1 ( 1 + 2 t ) ln ⁡ x + ln ⁡ C = y

1 ( 1 + 2 t ) ln ⁡ C x = y

Aplicando a função inversa, temos!

y = C x 1 1 + 2 t

Para garantir, que todas as linhas passem por x o , y o devemos agrega-los na equação como parâmetros, assim:

y = y o x x o 1 1 + 2 t

Para esboço do gráfico recomendo o uso do webapp do geogebra, ou o do wolfran para plot de gráficos em 3d!

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Passo 3

Resposta

y = y o x x o 1 1 + 2 t

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