Enunciado

Uma cavidade profunda, com 50 mm de diâmetro, apresenta um comportamento que se aproxima do comportamento de um corpo negro. Ela é mantida a 250°C quando exposta à irradiação solar com 800 W/m2 , com a vizinhança e o ar ambiente a 25°C. Uma janela fina com transmissividade e refletividade espectrais de 0,9 e 0,0, respectivamente, na faixa espectral compreendida entre 0,2 e 4 μm, é colocada sobre a abertura da cavidade. Na região espectral além dos 4 μm, a janela se comporta como um corpo cinza, opaco e difuso, com emissividade de 0,95. Supondo que o coeficiente de transferência de calor por convecção sobre a superfície superior da janela seja de 10 W/(m2 · K), determine a temperatura da janela e a potência necessária para manter a cavidade a uma temperatura de 250°C.

Passo 1

Fala aí! Partiu fazer essa questãozinha!

Nosso enunciado pede pra gente a temperatura e a potência desse probleminha aí… Vamos lá!

Vamos começar anotando nossos dados, beleza?

T ∞ = 25 ° C → 298   K G s = 800   W / m ² T c = 250 ° C → 523   K

D = 50   m m h = 10   W / m ² . K

E como temos:

0,2 ≤ λ ≤ 4   μ m τ λ = 0,9 ρ λ = 0

Então:

α λ = 1 - τ λ = 0,1 4   μ m < λ τ λ = 0 α = ε = 0,95

Agora partiu continhas!

Passo 2

Fazendo balanço de energia temos:

E e n t - E s a i = 0

α s u r   .   G s u r + α s   .   G s - ε   .   E b - q c o n v " s u p e r i o r + α c   .   G c - ε   .   E b T i n f e r i o r = 0

α s u r   .   σ   .   T s u r 4 + α s   .   G s - ε   .   σ   .   T 4 - h   .   T - T s u r + α c   .   σ   .   T c 4 - ε   .   σ   .   T 4 = 0

Tá faltando algumas coisinhas aí, né? Partiu então!

α s u r = α 1   .   F 0 → 4   μ m - F 0 → 0,2   μ m + α 2   .   1 - F 0 → 4   μ m

Vamos achar o F 0 → 4   μ m e F 0 → 0,2   μ m , calculando λ   .   T :e depois visitando a tabela 12.2, teremos:

λ   .   T = 4   .   298 = 1192   μ m   .   K F 0 → 4   μ m = 0,002

λ   .   T = 0,2   .   298 = 59,6   μ m   .   K F 0 → 0,2   μ m = 0

E agora sim vamos ficar com:

α s u r = 0,1   .   0,002 - 0 + 0,95   .   1 - 0,002

α s u r = 0,948

Agora vamos para o próximo, do mesmo jeitinho, mas agora com a temperatura diferente:

α S = α 1   .   F 0 → 4   μ m - F 0 → 0,2   μ m + α 2   .   1 - F 0 → 4   μ m

Vamos achar novamente o F 0 → 4   μ m e F 0 → 0,2   μ m , calculando λ   .   T e visitando a tabela 12.2:

λ   .   T = 4   .   5800 = 23200   μ m   .   K F 0 → 4   μ m = 0,990

λ   .   T = 0,2   .   5800 = 1160   μ m   .   K F 0 → 0,2   μ m = 0,002

Vamos ficar com:

α S = 0,1   .   0,990 - 0,002 + 0,95   .   1 - 0,990

α S = 0,108

Passo 3

E usando o mesmo esquema novamente para achar α c :

α c = α 1   .   F 0 → 4   μ m - F 0 → 0,2   μ m + α 2   .   1 - F 0 → 4   μ m

Vamos achar mais uma vez o F 0 → 4   μ m e F 0 → 0,2   μ m , calculando λ   .   T e visitando a tabela 12.2:

λ   .   T = 4   .   523 = 2092   μ m   .   K F 0 → 4   μ m = 0,082

λ   .   T = 0,2   .   523 = 104,6   μ m   .   K F 0 → 0,2   μ m = 0

Vamos ficar com:

α c = 0,1   .   0,082 - 0 + 0,95   .   1 - 0,082

α c = 0,880

Sendo nossa emissividade:

ε ≈ ε λ = 0,95

Vamos ter nossa temperatura como:

0,948   .   5,67   .   10 - 8   .   298 4 + 0,108   .   800 - 0,95   .   5,67   .   10 - 8   .   T 4 - 10   .   T - 298 +

0,880   .   5,67   .   10 - 8   .   523 4 - 0,95   .   5,67   .   10 - 8   .   T 4 = 0

1,077   .   10 - 7   .   T 4 +   10   .   T - 7223 = 0

T = 413   K

ou

T = 139 ° C

Show de bola! Mas ainda falta achar a potência…

Passo 4

Agora tendo um T c = 250 ° C , para achar a potência vamos fazer um novo balanço de energia:

E e n t - E s a i = 0

q p + A c   .   ρ   .   E b T c + τ S   .   G S + ε   .   E b T - E b T c = 0

q p = A c   .   - ρ   .   σ   .   T c 4 - τ S   .   G S - ε   .   σ   .   T 4 + σ   .   T c 4

q p = π   .   D ² 4   .   - ρ   .   σ   .   T c 4 - τ S   .   G S - ε   .   σ   .   T 4 + σ   .   T c 4

Precisamos achar τ S e ρ , vamos nessa:

τ S = 1 - ρ S - α S ρ = 1 - α = 1 - ε

τ S = 1 - 0 - 0,108 ρ = 1 - 0,95

τ S = 0,892 ρ = 0,05

A potência será então:

q p = π   .   0,050 ² 4   .   - 0,05   .     5,67   .   10 - 8   .   523 4 - 0,892   .   800 - 0,95   .     5,67   .   10 - 8   .   412 4 +   5,67   .   10 - 8   .   523 4

q p = 3,47   W

Prontinhos! Arrasamos!

Resposta

T = 413   K q p = 3,47   W

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