Enunciado

Uma chapa de alumínio de espessura de 10   c m ( ρ = 2.702   k g / m 3 ,   c p = 903   J / k g ⋅ K ,   k = 237   W / m ⋅ K   e   α = 97,1 × 10 - 6   m 2 / s ) é aquecida em líquido com temperatura de 500 ℃ . A placa de alumínio tem temperatura uniforme inicial de 25 ℃ . Considerando que a temperatura da superfície da placa de alumínio é aproximadamente a temperatura do líquido, determine a temperatura no centro da placa após 15 segundos de aquecimento.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Densidade da chapa de alumínio: ρ = 2.702   k g / m 3

Calor específico da chapa de alumínio: c p = 903   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica da chapa de alumínio: k = 237   W / m ⋅ K

Difusividade térmica da chapa de alumínio: α = 97,1 × 10 - 6   m 2 / s

Espessura da chapa de alumínio: e = 10   c m = 0,1   m

Comprimento característico da chapa de alumínio: L = 0,05   m

Temperatura inicial da chapa de alumínio: T i = 25 ℃

Temperatura do ar ambiente: T ∞ = 500 ℃

Temperatura final na superfície da chapa de alumínio: T x , t = 500 ℃

Tempo de aquecimento: t = 15   s

Passo 2

Como a temperatura da superfície da placa é igual à temperatura do líquido, o coeficiente de transferência de calor por convecção é infinitivo.

h = ∞

Assim, podemos calcular o número do Biot usando a seguinte relação:

B i = h L k

Aqui  L é o comprimento característico e k  é a condutividade térmica do material da placa. Substituindo os termos da equação pelos valores conhecidos, temos:

B i = ∞   W / m 2 ⋅ K × 0,05   m 237   W / m ⋅ K

B i = ∞

Podemos obter as constantes λ 1 e A 1 para a placa na tabela 4-2, correspondentes ao número Biot encontrado acima para parede plana. Assim, temos que:

λ 1 = 1,5708

A 1 = 1,2732

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de Fourier usando a seguinte relação:

τ = α t L 2

Aqui τ  é o número de Fourier, α é a difusividade térmica, t  é o tempo e L é o comprimento crítico da placa. Substituindo os termos da equação pelos dados conhecido, temos:

τ = 97,1 × 10 - 6   m 2 / s × 15   s 0,05   m 2

τ = 0,5826

Como o número de Fourier é maior que 0,2 , o método de aproximação de um termo é usado para resolver o problema.

Passo 4

Vamos calcular a temperatura no plano central da placa de alumínio usando a seguinte relação:

θ o , p a r e d e = T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Podemos reescrever ainda a equação da seguinte maneira:

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

T o = T ∞ + T i - T ∞ × A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui  T o é a temperatura do plano central,  T ∞ é a temperatura do fluido e  T i é a temperatura inicial da placa. Substituindo os termos pelos dados conhecido, temos:

T o = 500 ℃ + 25 ℃ - 500 ℃ × 1,2732 × e - 1,5708 2 × 0,5826

T o = 500 ℃ + - 475 ℃ × 1,2732 × e - 1,4357

T o = 500 ℃ + - 143,64 ℃

T o = 356,36 ℃

Portanto, a temperatura do plano central da placa de alumínio após 15 segundos de aquecimento é  356,36 ℃ .

Resposta

T o = 356,36 ℃

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Para cada um dos casos a seguir, determine um comprimento característico apropriado L c e o número de Biot B i correspondente que está associado à resposta térmica transiente do objeto sólido. Diga se
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