Enunciado

Uma comporta basculante, que controla a taxa de escoamento de um canal simplesmente levantando ou abaixando uma placa vertical, normalmente é usada em sistemas de irrigação. Uma força é exercida sobre a comporta devido à diferença entre as alturas da água y 1 e y 2 e as velocidades de escoamento V 1 e V 2 a jusante e a montante da comporta, respectivamente. Desprezando as forças de cisalhamento da parede nas superfícies do canal, deduza relações para V 1 , V 2 e para a força que age em uma comporta basculante com largura w durante um escoamento em regime permanente e uniforme.

Passo 1

O enunciado quer que a gente deduza três fórmula. Uma para a velocidade de escoamento do líquido que ainda não ultrapassou a comporta V 1 , outra para a velocidade de escoamento do líquido que já ultrapassou a comporta V 2 e, por fim, para a força F que é exercida pelo líquido sobre a comporta. A imagem abaixo ilustra o significado dessas variáveis e mostra o volume de controle que escolhemos para deduzir as três equações.

Conforme podemos ver pela figura, o volume de controle engloba o líquido.

Esse escoamento pode ser considerado escoamento em regime permanente, desprezando o acúmulo de energia e massa dentro do volume de controle. Além disso, como se trata do escoamento de um líquido, podemos considerar que o escoamento é incompressível. Logo:

ρ = c o n s t a n t e

onde ρ é a densidade do líquido.

Por fim, a questão pede para desprezarmos as forças cisalhantes (forças viscosas). Isso quer dizer que os efeitos do atrito são desprezíveis. Em outras palavras, podemos usar a equação ode Bernoulli nesse escoamento! Nos dois passos aprenderemos a deduzir V 1 e V 2 .

Passo 2

Para encontrar expressões para as duas velocidades V 1 e V 2 , temos que aplicar a equação de conservação de massa e a equação de Bernoulli ao volume de controle. A equação de conservação de massa de um escoamento incompressível diz que a vazão volumétrica de entrada V ˙ 1 é igual à vazão volumétrica de saída V ˙ 2 .

V ˙ 1 = V ˙ 2       ⟹       V 1 ⋅ A 1 = V 2 ⋅ A 2

onde A 1 é a área pela qual o líquido passa para entrar no volume de controle e A 2 é a área pela qual o líquido passa para sair do volume de controle. Essas duas áreas são iguais a altura y multiplicada pela largura w da comporta. Por causa disso:

V 1 ⋅ A 1 = V 2 ⋅ A 2       ⟹       V 1 ⋅ y 1 ⋅ w = V 2 ⋅ y 2 ⋅ w       ⟹       V 1 = V 2 ⋅ y 2 y 1

Passo 3

Aplicando Bernoulli a uma linha de corrente do volume de controle, temos:

P 1 ρ + V 1 2 2 + g ⋅ y 1 = P 2 ρ + V 2 2 2 + g ⋅ y 2

Como os pontos na altira y 1 e os pontos na altura y 2 estão em contato com a atmosfera (são superfícies livres), as duas têm pressão igual à pressão atmosférica. Isso quer dizer que a pressão manométrica do ponto 1 a uma altua y 1 P 1 e a pressão manométrica do ponto 2 a uma altua y 2 P 2 são iguas a:

P 1 = 0   P a

P 2 = 0   P a

Com esses novos dados, encontramos que:

V 1 2 2 + g ⋅ y 1 = V 2 2 2 + g ⋅ y 2

Substituindo a outra fórmula de V 1 nessa equação:

V 1 2 2 + g ⋅ y 1 = V 2 2 2 + g ⋅ y 2       ⟹       V 2 ⋅ y 2 y 1 2 2 + g ⋅ y 1 = V 2 2 2 + g ⋅ y 2

V 2 2 2 ⋅ y 2 2 y 1 2 - 1 = g ⋅ y 2 - y 1       ⟹       V 2 = 2 ⋅ g ⋅ y 2 - y 1 y 2 2 y 1 2 - 1

Com essa informação podemos deduzir uma fórmula para V 1 .

V 1 = V 2 ⋅ y 2 y 1       ⟹       V 1 = 2 ⋅ g ⋅ y 2 - y 1 y 2 2 y 1 2 - 1 ⋅ y 2 y 1

Passo 4

Para encontrar uma expressão para a força F , temos que usar a segunda lei de Newton (equação da quantidade de movimento) para escoamentos em regime permanente. Segue abaixo a equação da segunda lei para o volume de controle.

∑ F x = m ˙ ⋅ β ⋅ V 2 - β ⋅ V 1

onde ∑ F x é o somatório de todas as forças que atuam no eixo x , m ˙ é a vazão mássica do líquido que passa pelo volume de controle e β é o fator de correção do escoamento. O fator de correção β para escoamentos com forças de cisalhamento desprezíveis vale 1 . Logo:

∑ F x = m ˙ ⋅ β ⋅ V 2 - β ⋅ V 1     ⟹     ∑ F x = m ˙ ⋅ 1 ⋅ V 2 - 1 ⋅ V 1

∑ F x = m ˙ ⋅ V 2 - V 1

Passo 5

Para saber quanto vale ∑ F x , temos que saber quais as forças que atuam horizontalmente no volume de controle. F é uma dessas forças. O escoamento entrando no volume de controle exerce uma força sobre o volume de controle por causa da sua pressão média P 1 - . Além disso, o escoamento saindo do volume de controle exerce uma força sobre o volume de controle por causa da sua pressão média P 2 - . A figura abaixo mostra as forças.

Por isso, ∑ F x vale:

∑ F x = F + P 1 - ⋅ A 1 - P 2 - ⋅ A 2       ⟹       ∑ F x = F + P 1 - ⋅ w ⋅ y 1 - P 2 - ⋅ w ⋅ y 2

As pressões médias P 1 - e P 2 - são obtidas através das equações abaixo vindas da hidrostática.

P 1 - = ρ ⋅ g ⋅ y 1 2

P 2 - = ρ ⋅ g ⋅ y 2 2

Com essas novas informações, conseguimos achar uma fórmula para ∑ F x .

∑ F x = F + P 1 - ⋅ w ⋅ y 1 - P 2 - ⋅ w ⋅ y 2

∑ F x = F + ρ ⋅ g ⋅ y 1 2 ⋅ w ⋅ y 1 - ρ ⋅ g ⋅ y 2 2 ⋅ w ⋅ y 2

Passo 6

Igualando as duas expressões de ∑ F x , achamos uma fórmula para F .

∑ F x = F + ρ ⋅ g ⋅ y 1 2 ⋅ w ⋅ y 1 - ρ ⋅ g ⋅ y 2 2 ⋅ w ⋅ y 2 ∑ F x = m ˙ ⋅ V 2 - V 1

F + ρ ⋅ g ⋅ y 1 2 ⋅ w ⋅ y 1 - ρ ⋅ g ⋅ y 2 2 ⋅ w ⋅ y 2 = m ˙ ⋅ V 2 - V 1

F = m ˙ ⋅ V 2 - V 1 - ρ ⋅ g ⋅ w 2 ⋅ y 1 2 - y 2 2

Resposta

V 1 = 2 ⋅ g ⋅ y 2 - y 1 y 2 2 y 1 2 - 1 ⋅ y 2 y 1

V 2 = 2 ⋅ g ⋅ y 2 - y 1 y 2 2 y 1 2 - 1

F = m ˙ ⋅ V 2 - V 1 - ρ ⋅ g ⋅ w 2 ⋅ y 1 2 - y 2 2

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