Enunciado

A comporta retangular de 200   k g e 5   m de largura mostrada na figura P 3 - 118 tem dobradiças em B e se inclina contra o piso em A , formando um ângulo de 45 ° com a horizontal. A comporta deve ser aberta pelo lado mais baixo aplicando-se uma força normal ao seu centro. Determine a força mínima F necessária para abrir a comporta de água.

Passo 1

Temos um portão que está para ser aberto por uma força normal aplicada, temos que determinar a mínima força necessária para abrir.

Assumindo que a pressão atmosférica atua nos dois lados do portão, e devido a isto podemos ignora-la por convenção. Assumindo que o atrito na dobradiça será insignificante.

Tomaremos a densidade da água como padrão ρ w = 1000   k g / m 3 .

Para determinarmos a força mínima no centro do portão determinaremos o momento do portão.

Passo 2

Bem vamos começar encontrando as coordenadas do centro do nosso portão, nosso portão configura um triangulo retângulo. Portanto, chamando a superfície que encontra na água do portão de b vamos calcular o comprimento de b e da superfície de água que não está na horizontal com o portão que chamaremos de s .

s e n   45 ° = 3 b

b = 3 s e n   45 ° ≅ 4,243   m

E

s e n   45 ° = 0,5 s

s = 0,5 s e n   45 ° = 0,7071   m

Podemos determinara a força resultante no centro do portão pela pressão e a área. Como pressão é k g m ∙ s 2 e força [ k g   m / s 2 ] , basta multiplicarmos pela área m 2 e teremos a força.

F r = P ∙ A = ρ w g h c ∙ A

Em que h c começa na metade do portão até superfície da água, ou seja, 1,5 + 0,5 .

F r = 1000 ∙ 9,81 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 4,243

F r = 416   k N

Passo 3

Agora para lidarmos com o momento no ponto B , vamos determinar a distância do centro da pressão até a superfície da água ao longo do plano do portão:

y p = s + b 2 + b 2 12 s + b 2

y p = 0,7071 + 4,243 2 + 4,243 2 12 0,7071 + 4,243 2 = 3,359   m

A distância do centro da pressão da roldana até o ponto B é:

L p = y p - s = 3,359 - 0,7071 = 2,652   m

As distâncias necessárias calculadas, podemos determinar o momento no ponto B que é igual a zero e igual a nossa relação de momento e força média mínima:

∑ M B = 0

F r ∙ L p = F m í n i ∙ b 2

F m í n i = 2 F r ∙ L p b = 2 ∙ 416 ∙ 2,652 4,243 = 520   k N

Resposta

F m í n i = 520   k N

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