Enunciado

Uma concha de vidro Pyrex esférica tem diâmetros internos e externos de D 1 = 0,15   m e D 2 = 0,30   m , respectivamente. A superfície interna está em T s , 1 = 150 ℃ , enquanto a superfície externa está em T s , 2 = 30 ℃ .

(a) Determine a temperatura no ponto médio da espessura da casca, T ( r m = 0,1125   m ) .

(b) Para as mesmas temperaturas de superfície e dimensões como na parte (a), mostre como o ponto médio da temperatura mudaria se o material da casca fosse alumínio.

Passo 1

Fala galerinha!! Vocês estão bem??

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condições de estado estacionário.

(2) Propriedades constantes.

(3) Transferência de calor unidimensional.

(4) Nenhuma geração interna de energia dentro da casca.

Os dados fornecidos foram:

Diâmetro interno: D 1 = 0,15   m

Diâmetro externo: D 2 = 0,30   m

Raio interno: r 1 = 0 , 07 5   m

Raio externo: r 2 = 0,15   m

Raio no ponto médio: r m = 0,1125   m

Temperatura na superfície interna: T s , 1 = 150 ℃

Temperatura na superfície externo: T s , 2 = 30 ℃

Passo 2

(a) Para resolver essa questão, podemos levar em conta que a taxa de condução de calor no ponto médio ( r m = 0,1125   m ) , deve ser igual à taxa de condução de calor para fora (na superfície externa). Portanto, da Eq. 3,40 temos o seguinte:

q r = 4 π k T r m - T s , 2 1 / r m - 1 / r 2 = 4 π k T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2

Ou seja:

4 π k T r m - T s , 2 1 / r m - 1 / r 2 = 4 π k T s , 1 - T s , 2 1 / r 1 - 1 / r 2

T r m = T s , 2 + T s , 1 - T s , 2 1 / r m - 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

T r m = 30 ℃ + 150 ℃ - 30 ℃ 1 / 0,1125   m - 1 / 0,15   m 1 / 0 , 07 5   m - 1 / 0,15   m

T r m = 70 ℃

Portanto, a temperatura é 70 ℃ .

Passo 3

(b) Pelo cálculo feito no passo anterior, vemos que a distribuição da temperatura no ponto médio é

T r m = T s , 2 + T s , 1 - T s , 2 1 / r m - 1 / r 2 1 / r 1 - 1 / r 2

Podemos perceber que ela é independente do material, ou seja, é independente da condutividade térmica do material. Portanto, temos que para a casaca esférica de alumínio, a temperatura no ponto médio é:

T r m = 70 ℃

Resposta

(a) T r m = 70 ℃

(b) T r m = 70 ℃

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