Enunciado

Um conjunto de fornos de secagem é montado sobre uma prateleira em uma sala com o ar ambiente a uma temperatura de 27°C. Os fornos cúbicos têm 500 mm de lado e o espaçamento entre eles é de 15 mm.

(a) Estime a perda térmica pela parede lateral de um forno quando sua temperatura superficial é igual a 47°C.

(b) Explore a influência do espaçamento na perda térmica. Em qual espaçamento a perda térmica é máxima? Descreva o comportamento da camada-limite nessa condição. Pode essa condição ser analisada tratando a lateral de um forno como uma placa vertical isolada?

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Temos um conjunto de fornos cúbicos operando a uma temperatura superficial de 47 ° C com 15   m m de espaçamento entre eles onde está alocado ar ambiente a uma temperatura de 27 ° C , como demonstra o esquema ilustrativo abaixo com algumas das grandezas que vamos utilizar:

Nesse volume de controle que estamos analisando, ocorre convecção natural por conta da diferença de temperatura entre o fluido e as superfícies dos fornos. Ou seja, estamos lidando com uma situação de convecção natural em um canal formado entre placas paralelas isotérmicas aquecidas simetricamente.

Por isso, em primeiro lugar, a questão quer que a gente calcule a perda térmica (taxa de transferência de calor) pela parede lateral de um forno, a partir da seguinte equação:

q =   T s - T ∞ k A N u - s S

Sendo que o número de Nusselt para placas planas simétricas ( T s , 1 = T s , 2 ) pode ser calculado pela equação:

N u - s =   576 R a s S / L 2 + 2,87 R a s S / L 1 / 2 - 1 / 2

Onde R a s é o número de Rayleigh, que pode ser calculado como:

R a s =   g β T S - T ∞ S ³ ν α

Sendo S o espaço entre dois fornos, g = 9,81   m 2 / s a aceleração da gravidade, β o coeficiente de expansão térmica do ar, ν a viscosidade cinemática do ar e α a difusividade térmica do ar, L o comprimento do forno e A a área da seção transversal do forno.

Depois, a gente tem que que traçar um gráfico de perda térmica pela variação do espaço S e calcular a perda térmica máxima.

Pra resolver a questão vamo precisar buscar as propriedades do ar a 1 atm na Tabela A.4 (página 634) a uma temperatura média entre de T = T S + T ∞ 2 = 47   ° C + 27   ° C 2 = 37   ° C =   310   K :

k   = 0,0270 W m . K ν = 1,69 x 10 - 5   m ² s α = 2,40 x 10 - 5   m ² s β = 0,00323   K - 1

Pronto, agora podemos resolver a questão nos próximos passos.

Passo 2

Pra resolver a letra (a), primeiro precisamos calcular o número de Rayleigh:

R a s =   g β T S - T ∞ S ³ ν α =   9,81 m 2 s 0,00323   K - 1 20   ° C ( 0,015   m ) ³ 1,69 x 10 - 5   m ² s 2,40 x 10 - 5   m ² s =   5273

Depois, vamos calcular o número de Nusselt:

N u - s =   576 5273 ) ( 0,015   m / 0,5   m 2 + 2,87 5273 ) ( 0,015   m / 0,5   m 1 / 2 - 1 / 2

→ N u - s = 0,023 + 0,228 - 1 / 2 = 1,995

E, por fim, vamos calcular a perda térmica:

q =   T s - T ∞ k A N u - s S = 20   ° C 0,0270 W m . K 0,5   m ² 1,995 0,015   m = 17,95   W

Passo 3

Agora, pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

Devemos escrever uma expressão para a perda térmica em função do espaço entre os fornos:

q ( S ) =   0,135 576 3,12 x 10 9 S 4 2 + 2,87 3,12 x 10 9 S 4 1 / 2 - 1 / 2 S

Traçando um gráfico no Excel, obtemos:

Como dá pra notar, a partir de S = 0,02   m , a perda térmica atinge seu maior valor e ficar mais ou menos constante a partir disso. Portanto, S > 20   m m dá a resposta de perda térmica máxima.

A partir desse valor de espaçamento, o sistema começa a se comportar como se fosse formado por uma única placa vertical, e isso evita a superposição de camadas-limite adjacentes, de modo que o limite de placa única permaneça válido ao longo de toda a placa.

Pronto, matamos a questão junto ;)

Resposta

(a) A perda térmica pela parede lateral de um forno é q = 17,95   W .

(b) Para S > 20   m m a perda térmica máxima.

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